Номер 22.39, страница 135 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.39, страница 135.

Условие.

22.39*. На покоящееся ядро $^7_3\text{Li}$ налетает протон с кинетической энергией $W_1 = 5,0$ МэВ. В результате реакции вылетают две $\alpha$-частицы с одинаковыми энергиями. Найдите кинетическую энергию $W_2$ каждой из $\alpha$-частиц и угол $\theta$ разлета $\alpha$-частиц.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Реакция: $_{1}^{1}\textrm{p} + _{3}^{7}\textrm{Li} \rightarrow _{2}^{4}\textrm{He} + _{2}^{4}\textrm{He}$

Кинетическая энергия налетающего протона: $W_1 = 5,0$ МэВ.

Начальная скорость ядра лития: $v_{Li} = 0$.

Кинетические энергии вылетающих $\alpha$-частиц равны: $W_{\alpha1} = W_{\alpha2} = W_2$.

Массы частиц (атомные массы):

$m_p = m(_{1}^{1}\textrm{H}) \approx 1,007825$ а.е.м.

$m_{Li} = m(_{3}^{7}\textrm{Li}) \approx 7,016004$ а.е.м.

$m_{\alpha} = m(_{2}^{4}\textrm{He}) \approx 4,002603$ а.е.м.

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5$ МэВ.

Перевод в СИ:

$W_1 = 5,0 \text{ МэВ} = 5,0 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 8,01 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}$.

$1 \text{ а.е.м.} = 1,6605 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_p \approx 1,6735 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

$m_{Li} \approx 1,1650 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.

$m_{\alpha} \approx 6,6465 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

(Для удобства вычисления будут проводиться в единицах МэВ и а.е.м.)

Найти:

$W_2$ — кинетическую энергию каждой $\alpha$-частицы.

$\theta$ — угол разлета $\alpha$-частиц.

Решение:

Запишем уравнение ядерной реакции:

$_{1}^{1}\textrm{p} + _{3}^{7}\textrm{Li} \rightarrow _{2}^{4}\textrm{He} + _{2}^{4}\textrm{He}$

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса.

Кинетическая энергия $W_2$ каждой из $\alpha$-частиц

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы до реакции равна полной энергии системы после реакции. Полная энергия включает в себя энергию покоя ($mc^2$) и кинетическую энергию ($\text{W}$).

$m_p c^2 + m_{Li} c^2 + W_1 = 2 m_{\alpha} c^2 + W_{\alpha1} + W_{\alpha2}$

Поскольку ядро лития покоилось ($W_{Li}=0$) и энергии $\alpha$-частиц равны ($W_{\alpha1} = W_{\alpha2} = W_2$), уравнение принимает вид:

$m_p c^2 + m_{Li} c^2 + W_1 = 2 m_{\alpha} c^2 + 2 W_2$

Выразим отсюда $W_2$:

$2 W_2 = (m_p + m_{Li} - 2 m_{\alpha})c^2 + W_1$

Величина $Q = (m_p + m_{Li} - 2 m_{\alpha})c^2$ называется энергетическим выходом реакции. Найдем его, вычислив сначала дефект масс $\Delta m$:

$\Delta m = m_p + m_{Li} - 2 m_{\alpha} = 1,007825 + 7,016004 - 2 \cdot 4,002603 = 8,023829 - 8,005206 = 0,018623$ а.е.м.

Теперь найдем энергетический выход $\text{Q}$:

$Q = \Delta m \cdot c^2 = 0,018623 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 17,346$ МэВ.

Подставим значение $\text{Q}$ в уравнение для энергии:

$2 W_2 = Q + W_1$

$W_2 = \frac{Q + W_1}{2} = \frac{17,346 \text{ МэВ} + 5,0 \text{ МэВ}}{2} = \frac{22,346}{2} \approx 11,17$ МэВ.

Ответ: Кинетическая энергия каждой из $\alpha$-частиц $W_2 \approx 11,2$ МэВ.

Угол $\theta$ разлета $\alpha$-частиц

Воспользуемся законом сохранения импульса. Импульс системы до реакции равен импульсу системы после реакции.

$\vec{p}_p = \vec{p}_{\alpha1} + \vec{p}_{\alpha2}$

Здесь $\vec{p}_p$ — импульс налетающего протона, $\vec{p}_{\alpha1}$ и $\vec{p}_{\alpha2}$ — импульсы двух $\alpha$-частиц после реакции. Так как кинетические энергии $\alpha$-частиц равны ($W_2$), то и модули их импульсов также равны: $p_{\alpha1} = p_{\alpha2} = p_{\alpha}$.

Векторное равенство можно представить графически в виде треугольника импульсов, где вектор $\vec{p}_p$ является суммой векторов $\vec{p}_{\alpha1}$ и $\vec{p}_{\alpha2}$. Поскольку $p_{\alpha1} = p_{\alpha2}$, этот треугольник равнобедренный.

Из соображений симметрии, $\alpha$-частицы разлетаются под одинаковыми углами $\alpha = \theta/2$ относительно направления движения протона. Спроецируем закон сохранения импульса на направление первоначального движения протона:

$p_p = p_{\alpha} \cos(\alpha) + p_{\alpha} \cos(\alpha) = 2 p_{\alpha} \cos(\alpha)$

Отсюда находим косинус угла $\alpha = \theta/2$:

$\cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{p_p}{2 p_{\alpha}}$

Связь между кинетической энергией и импульсом дается формулой $W = p^2 / (2m)$, откуда $p = \sqrt{2mW}$. Подставим это в наше выражение:

$\cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{\sqrt{2 m_p W_1}}{2 \sqrt{2 m_{\alpha} W_2}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m_p W_1}{m_{\alpha} W_2}}$

Для оценки отношения масс можно использовать отношение их массовых чисел: $m_p \approx 1$ а.е.м., $m_{\alpha} \approx 4$ а.е.м., т.е. $m_p/m_{\alpha} \approx 1/4$.

$\cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1 \cdot 5,0 \text{ МэВ}}{4 \cdot 11,17 \text{ МэВ}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5,0}{44,68}} \approx \frac{1}{2} \sqrt{0,1119} \approx \frac{1}{2} \cdot 0,3345 \approx 0,1673$

Теперь найдем угол $\theta/2$:

$\frac{\theta}{2} = \arccos(0,1673) \approx 80,4^{\circ}$

Следовательно, полный угол разлета $\theta$ равен:

$\theta = 2 \cdot 80,4^{\circ} = 160,8^{\circ}$

Ответ: Угол разлета $\alpha$-частиц $\theta \approx 161^{\circ}$.