Номер 22.36, страница 134 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.36, страница 134.

Условие.

22.36**. Какую минимальную кинетическую энергию $W_0$ должна иметь $\alpha$-частица для осуществления ядерной реакции $^{\text{7}}_{\text{3}}\text{Li} + ^{\text{4}}_{\text{2}}\text{He} \to ^{\text{10}}_{\text{5}}\text{B} + ^{\text{1}}_{\text{0}}\text{n}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Ядерная реакция: ${}_3^7\text{Li} + {}_2^4\text{He} \rightarrow {}_5^{10}\text{B} + {}_0^1n$

Масса ядра лития-7: $m({}^7\text{Li}) = 7.016004$ а.е.м.

Масса α-частицы (ядра гелия-4): $m({}^4\text{He}) = 4.002603$ а.е.м.

Масса ядра бора-10: $m({}^{10}\text{B}) = 10.012937$ а.е.м.

Масса нейтрона: $m(n) = 1.008665$ а.е.м.

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931.5 \text{ МэВ}$

Найти:

$W_0$ — минимальная кинетическая энергия α-частицы.

Решение:

Минимальная кинетическая энергия, которой должна обладать налетающая частица (в данном случае α-частица) для осуществления эндоэнергетической реакции (реакции с поглощением энергии), называется пороговой энергией. Предполагается, что ядро лития, которое является мишенью, до столкновения покоится.

Сначала определим энергетический выход реакции $\text{Q}$. Он равен разности энергий покоя начальных и конечных частиц:

$Q = (m_{Li} + m_{\alpha} - m_{B} - m_{n}) \cdot c^2$

Для этого вычислим дефект масс $\Delta m$ в атомных единицах массы (а.е.м.):

$\Delta m = (m({}^7\text{Li}) + m({}^4\text{He})) - (m({}^{10}\text{B}) + m(n))$

$\Delta m = (7.016004 + 4.002603) - (10.012937 + 1.008665) = 11.018607 - 11.021602 = -0.002995$ а.е.м.

Теперь найдем энергетический выход $\text{Q}$ в мегаэлектронвольтах (МэВ):

$Q = \Delta m \cdot 931.5 \text{ МэВ/а.е.м.} = -0.002995 \cdot 931.5 \approx -2.79$ МэВ.

Поскольку $Q < 0$, реакция является эндоэнергетической, то есть для ее протекания требуется сообщить системе дополнительную энергию. Эта энергия сообщается в виде кинетической энергии налетающей α-частицы.

Однако минимальная (пороговая) кинетическая энергия $W_0$ налетающей частицы не равна $|Q|$, так как необходимо выполнить не только закон сохранения энергии, но и закон сохранения импульса. Часть начальной кинетической энергии переходит в кинетическую энергию продуктов реакции. Пороговая энергия $W_0$ для налетающей частицы с массой $m_1$ на покоящуюся мишень с массой $m_2$ определяется по формуле:

$W_0 = |Q| \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)$

В нашем случае налетающая частица — это α-частица ($m_1 = m({}^4\text{He})$), а мишень — ядро лития ($m_2 = m({}^7\text{Li})$).

$W_0 = -Q \left(1 + \frac{m({}^4\text{He})}{m({}^7\text{Li})}\right)$

Подставим числовые значения:

$W_0 = 2.79 \text{ МэВ} \cdot \left(1 + \frac{4.002603 \text{ а.е.м.}}{7.016004 \text{ а.е.м.}}\right) = 2.79 \cdot (1 + 0.5705) = 2.79 \cdot 1.5705 \approx 4.38$ МэВ.

В качестве приближения можно использовать отношение массовых чисел $\text{A}$ вместо точных масс:

$W_0 \approx -Q \left(1 + \frac{A_{\alpha}}{A_{Li}}\right) = 2.79 \text{ МэВ} \cdot \left(1 + \frac{4}{7}\right) = 2.79 \cdot \frac{11}{7} \approx 4.38$ МэВ.

Результаты обоих расчетов совпадают с достаточной точностью.

Ответ: Минимальная кинетическая энергия α-частицы для осуществления данной ядерной реакции должна быть approximately $4.38 \text{ МэВ}$.