Номер 22.25, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.25, страница 133.

Условие.

22.25. Каков период $\text{T}$ полураспада изотопа, если за сутки распадается в среднем 900 атомов из 1000? 750 атомов из 1000? 1 атом из 1000?

Решение.

Решение 2.

900 атомов из 1000

Дано:

Начальное число атомов $N_0 = 1000$
Число распавшихся атомов $\Delta N = 900$
Время $t = 1$ сутки

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \text{ сутки} = 24 \text{ часа} \cdot 3600 \text{ с/час} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада $\text{T}$

Решение:
Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся атомов $N(t)$ с начальным числом атомов $N_0$ через время $\text{t}$ и период полураспада $\text{T}$:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$
Число нераспавшихся атомов через одни сутки составляет:
$N(t) = N_0 - \Delta N = 1000 - 900 = 100$
Подставим известные значения в уравнение:
$100 = 1000 \cdot 2^{-t/T}$
Разделим обе части на 1000:
$0.1 = 2^{-t/T}$
Чтобы найти $\text{T}$, прологарифмируем обе части по основанию 2:
$\log_2(0.1) = -t/T$
Выразим $\text{T}$:
$T = -\frac{t}{\log_2(0.1)} = \frac{t}{\log_2(10)}$
Для вычисления перейдем к натуральным логарифмам, используя формулу $\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$:
$T = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln 10}$
Подставим значения $t = 1$ сутки, $\ln 2 \approx 0.693$, $\ln 10 \approx 2.303$:
$T \approx \frac{1 \text{ сутки} \cdot 0.693}{2.303} \approx 0.301$ суток
Это составляет примерно $0.301 \cdot 24 \approx 7.22$ часа.
Ответ: период полураспада составляет приблизительно 0.301 суток (7.22 часа).

750 атомов из 1000

Дано:

Начальное число атомов $N_0 = 1000$
Число распавшихся атомов $\Delta N = 750$
Время $t = 1$ сутки

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \text{ сутки} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада $\text{T}$

Решение:
Используем закон радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$.
Определим число нераспавшихся атомов:
$N(t) = N_0 - \Delta N = 1000 - 750 = 250$
Подставим значения в закон распада:
$250 = 1000 \cdot 2^{-t/T}$
$0.25 = 2^{-t/T}$
Так как $0.25 = 1/4 = 2^{-2}$, получаем:
$2^{-2} = 2^{-t/T}$
Приравнивая показатели степени, имеем:
$-2 = -t/T$,
откуда $T = t/2$.
Подставляя $t = 1$ сутки, находим период полураспада:
$T = \frac{1 \text{ сутки}}{2} = 0.5$ суток, или 12 часов.
Ответ: период полураспада составляет 0.5 суток (12 часов).

1 атом из 1000

Дано:

Начальное число атомов $N_0 = 1000$
Число распавшихся атомов $\Delta N = 1$
Время $t = 1$ сутки

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \text{ сутки} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Период полураспада $\text{T}$

Решение:
Снова используем закон радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$.
Число оставшихся атомов:
$N(t) = N_0 - \Delta N = 1000 - 1 = 999$
Подставляем в уравнение:
$999 = 1000 \cdot 2^{-t/T}$
$\frac{999}{1000} = 2^{-t/T}$
Логарифмируем по основанию 2:
$\log_2\left(\frac{999}{1000}\right) = -t/T$
Выражаем $\text{T}$:
$T = -\frac{t}{\log_2(999/1000)} = \frac{t}{\log_2(1000/999)}$
Переходя к натуральным логарифмам:
$T = \frac{t \cdot \ln 2}{\ln(1000/999)}$
Поскольку доля распавшихся атомов мала ($\Delta N \ll N_0$), можно использовать приближение $\ln(1+x) \approx x$ для малых $\text{x}$. В данном случае $\ln(1000/999) = -\ln(1 - 1/1000) \approx -(-1/1000) = 1/1000$.
Тогда период полураспада:
$T \approx \frac{t \cdot \ln 2}{1/1000} = 1000 \cdot t \cdot \ln 2$
Подставляя $t = 1$ сутки и $\ln 2 \approx 0.693$:
$T \approx 1000 \cdot 1 \text{ сутки} \cdot 0.693 = 693$ суток.
Ответ: период полураспада составляет приблизительно 693 суток.