Номер 22.22, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.22, страница 133.

Условие.

22.22. Пучок электронов, пройдя через узкую щель, дал на фотопластинке такую же дифракционную картину, как монохроматическое излучение с длиной волны $\lambda = 55$ нм. Чему равна скорость $\text{v}$ электронов?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина волны излучения, $\lambda = 55$ нм
Постоянная Планка, $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Масса электрона, $m_e \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг

Перевод в систему СИ:
$\lambda = 55 \cdot 10^{-9}$ м

Найти:

Скорость электронов $\text{v}$

Решение:

По условию, пучок электронов при дифракции на узкой щели создает такую же картину, как и монохроматическое излучение с длиной волны $\lambda$. Это явление объясняется корпускулярно-волновым дуализмом, согласно которому частицы, такие как электроны, обладают волновыми свойствами. Длина волны, ассоциированная с частицей (длина волны де Бройля), равна длине волны света, создающего идентичную дифракционную картину.

Длина волны де Бройля $\lambda$ связана с импульсом частицы $\text{p}$ соотношением: $$ \lambda = \frac{h}{p} $$ где $\text{h}$ — постоянная Планка.

Импульс электрона $\text{p}$ в нерелятивистском приближении (когда его скорость значительно меньше скорости света) вычисляется по формуле: $$ p = m_e v $$ где $m_e$ — масса электрона, а $\text{v}$ — его скорость.

Объединив эти две формулы, получаем выражение для длины волны де Бройля через скорость электрона: $$ \lambda = \frac{h}{m_e v} $$

Из этого соотношения выразим искомую скорость $\text{v}$: $$ v = \frac{h}{m_e \lambda} $$

Подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчет: $$ v = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot c}}{9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 55 \cdot 10^{-9} \text{ м}} \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{501.05 \cdot 10^{-40}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 0.01322 \cdot 10^6 \frac{\text{м}}{\text{с}} $$

Таким образом, скорость электронов составляет: $$ v \approx 1.32 \cdot 10^4 \frac{\text{м}}{\text{с}} $$ Эта скорость значительно меньше скорости света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с), поэтому использование нерелятивистской формулы для импульса является корректным.

Ответ: скорость электронов $\text{v}$ равна примерно $1.32 \cdot 10^4$ м/с.