Номер 22.15, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.15, страница 132.

Условие.

22.15**. Длина волны рентгеновского излучения после комптоновского рассеяния (см. задачу 22.14) увеличилась с $\lambda_1 = 2,0$ пм до $\lambda_2 = 2,4$ пм. Какова кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов (выразите ее в МэВ) и их скорость $\text{v}$? Найдите также угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения и угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Длина волны рентгеновского излучения до рассеяния: $\lambda_1 = 2.0$ пм.

Длина волны рентгеновского излучения после рассеяния: $\lambda_2 = 2.4$ пм.

Перевод в систему СИ:

$\lambda_1 = 2.0 \times 10^{-12}$ м.

$\lambda_2 = 2.4 \times 10^{-12}$ м.

Справочные данные:

Постоянная Планка: $h \approx 6.626 \times 10^{-34}$ Дж·с.

Скорость света в вакууме: $c \approx 3.00 \times 10^8$ м/с.

Масса покоя электрона: $m_e \approx 9.109 \times 10^{-31}$ кг.

Энергия покоя электрона: $m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ.

Комптоновская длина волны электрона: $\lambda_C = h / (m_e c) \approx 2.426$ пм.

Произведение $hc \approx 1.240$ МэВ·пм.

Найти:

1. Кинетическую энергию вылетающих электронов $W_k$ (в МэВ) и их скорость $\text{v}$.

2. Угол рассеяния рентгеновского излучения $\theta$.

3. Угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

Решение:

1. Какова кинетическая энергия $W_k$ вылетающих электронов (выразите ее в МэВ) и их скорость $\text{v}$?

При комптоновском рассеянии выполняется закон сохранения энергии. Энергия, потерянная фотоном, передается электрону в виде кинетической энергии:

$W_k = E_1 - E_2$

где $E_1 = hc/\lambda_1$ — энергия падающего фотона, а $E_2 = hc/\lambda_2$ — энергия рассеянного фотона.

$W_k = \frac{hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} = hc \left( \frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) = hc \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$

Подставим числовые значения:

$W_k = 1.240 \mathrm{МэВ \cdot пм} \cdot \frac{2.4 \text{ пм} - 2.0 \text{ пм}}{2.0 \text{ пм} \cdot 2.4 \text{ пм}} = 1.240 \cdot \frac{0.4}{4.8} \text{ МэВ} = \frac{1.240}{12} \text{ МэВ} \approx 0.103 \text{ МэВ}$

Так как полученная кинетическая энергия сопоставима с энергией покоя электрона ($m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ), для нахождения скорости необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:

$W_k = m_e c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

Выразим из этой формулы скорость $\text{v}$:

$\frac{W_k}{m_e c^2} + 1 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + W_k / (m_e c^2)} \right)^2}$

Подставим значения $W_k \approx 0.103$ МэВ и $m_e c^2 \approx 0.511$ МэВ:

$\frac{v}{c} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + 0.103 / 0.511} \right)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1 + 0.2016} \right)^2} = \sqrt{1 - \left( \frac{1}{1.2016} \right)^2} \approx \sqrt{1 - 0.692} = \sqrt{0.308} \approx 0.555$

Таким образом, скорость электрона:

$v = 0.555c = 0.555 \cdot 3.00 \times 10^8 \text{ м/с} \approx 1.67 \times 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: $W_k \approx 0.103$ МэВ, $v \approx 1.67 \times 10^8$ м/с.

2. Найдите также угол рассеяния $\theta$ рентгеновского излучения и угол $\alpha$ между направлением вылета электронов и направлением падающего излучения.

Угол рассеяния фотона $\theta$ можно найти из формулы эффекта Комптона:

$\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \lambda_C (1 - \cos\theta)$

где $\lambda_C = h / (m_e c) \approx 2.426$ пм — комптоновская длина волны электрона.

Выразим косинус угла рассеяния:

$\cos\theta = 1 - \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_C}$

Подставим известные значения:

$\cos\theta = 1 - \frac{2.4 \text{ пм} - 2.0 \text{ пм}}{2.426 \text{ пм}} = 1 - \frac{0.4}{2.426} \approx 1 - 0.165 = 0.835$

Отсюда находим угол $\theta$:

$\theta = \arccos(0.835) \approx 33.4^\circ$

Угол вылета электрона $\alpha$ найдем из законов сохранения импульса. Запишем их в проекциях на оси X (направление падающего фотона) и Y:

$p_{1x} = \frac{h}{\lambda_1}$, $p_{1y} = 0$

$p_{2x} = \frac{h}{\lambda_2}\cos\theta$, $p_{2y} = \frac{h}{\lambda_2}\sin\theta$

$p_{ex} = p_e\cos\alpha$, $p_{ey} = -p_e\sin\alpha$

Из закона сохранения импульса ($p_1 = p_2 + p_e$):

Ось X: $\frac{h}{\lambda_1} = \frac{h}{\lambda_2}\cos\theta + p_e\cos\alpha$

Ось Y: $0 = \frac{h}{\lambda_2}\sin\theta - p_e\sin\alpha$

Из этих уравнений можно получить выражение для тангенса угла $\alpha$:

$\tan\alpha = \frac{\lambda_1 \sin\theta}{\lambda_2 - \lambda_1 \cos\theta}$

Подставим известные и вычисленные значения ($\theta \approx 33.4^\circ$, $\sin\theta \approx 0.550$, $\cos\theta \approx 0.835$):

$\tan\alpha = \frac{2.0 \cdot 0.550}{2.4 - 2.0 \cdot 0.835} = \frac{1.10}{2.4 - 1.67} = \frac{1.10}{0.73} \approx 1.507$

Отсюда находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(1.507) \approx 56.4^\circ$

Ответ: Угол рассеяния $\theta \approx 33.4^\circ$, угол вылета электрона $\alpha \approx 56.4^\circ$.