Номер 22.11, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.11, страница 132.

Условие.

22.11. Может ли один гамма-квант превратиться в вакууме в пару электрон-позитрон?

Решение.

Решение 2.

22.11. Может ли один гамма-квант превратиться в вакууме в пару электрон-позитрон?

Нет, один гамма-квант не может превратиться в пару электрон-позитрон в вакууме. Такой процесс, называемый рождением пар, запрещен одновременным выполнением законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотрим этот гипотетический процесс. Пусть гамма-квант (фотон, $\gamma$) превращается в электрон ($e^−$) и позитрон ($e^+$):

$\gamma \rightarrow e^− + e^+$

Для доказательства невозможности этого процесса в вакууме удобнее всего использовать аппарат 4-векторов и релятивистской инвариантности.

Доказательство:

Запишем закон сохранения 4-импульса для этого процесса. 4-импульс — это четырехмерный вектор $P = (E/c, \vec{p})$.

$P_\gamma = P_{e^−} + P_{e^+}$

Здесь $P_\gamma$, $P_{e^−}$, $P_{e^+}$ — 4-импульсы гамма-кванта, электрона и позитрона соответственно.

Возведем обе части этого векторного равенства в квадрат (скалярно). Скалярный квадрат 4-импульса $P^2 = (E/c)^2 - \vec{p}^2$ является лоренц-инвариантом (его значение одинаково во всех инерциальных системах отсчета).

$P_\gamma^2 = (P_{e^−} + P_{e^+})^2 = P_{e^−}^2 + P_{e^+}^2 + 2(P_{e^−} \cdot P_{e^+})$

Теперь вычислим квадраты 4-импульсов для каждой частицы:

1. Для гамма-кванта, как для любой безмассовой частицы, квадрат 4-импульса равен нулю. Это следует из соотношения $E_\gamma = p_\gamma c$:

$P_\gamma^2 = (E_\gamma/c)^2 - p_\gamma^2 = (p_\gamma c/c)^2 - p_\gamma^2 = 0$

2. Для электрона и позитрона, имеющих одинаковую массу покоя $m_e$, квадрат 4-импульса равен квадрату их массы покоя (умноженной на $\text{c}$):

$P_{e^−}^2 = (m_e c)^2$

$P_{e^+}^2 = (m_e c)^2$

Подставим эти значения в уравнение закона сохранения:

$0 = (m_e c)^2 + (m_e c)^2 + 2(P_{e^−} \cdot P_{e^+})$

$0 = 2(m_e c)^2 + 2(P_{e^−} \cdot P_{e^+})$

Отсюда следует, что скалярное произведение 4-импульсов электрона и позитрона должно быть:

$P_{e^−} \cdot P_{e^+} = -(m_e c)^2$

Это отрицательная величина, так как масса $m_e$ не равна нулю.

Однако, по определению, скалярное произведение $P_{e^−} \cdot P_{e^+} = \frac{E_{e^−}E_{e^+}}{c^2} - \vec{p}_{e^−} \cdot \vec{p}_{e^+}$. В системе центра масс электрон-позитронной пары их импульсы противоположны ($\vec{p}_{e^−}' = -\vec{p}_{e^+}'$), а энергии равны ($E_{e^−}' = E_{e^+}' = \sqrt{(p'c)^2 + (m_e c^2)^2}$). В этой системе произведение равно:

$P_{e^−} \cdot P_{e^+} = \frac{(E_{e^−}')^2}{c^2} - \vec{p}_{e^−}' \cdot (-\vec{p}_{e^−}') = \frac{(E_{e^−}')^2}{c^2} + (p_{e^−}')^2$

Оба слагаемых в этой сумме положительны, значит, и само произведение $P_{e^−} \cdot P_{e^+}$ должно быть строго положительной величиной. Поскольку скалярное произведение 4-векторов является инвариантом, оно положительно в любой системе отсчета.

Мы пришли к противоречию: из закона сохранения следует, что $P_{e^−} \cdot P_{e^+} < 0$, а из определения и физического смысла — что $P_{e^−} \cdot P_{e^+} > 0$. Следовательно, исходное предположение о возможности такого процесса неверно.

Альтернативное объяснение:

В системе отсчета, где суммарный импульс рожденных электрона и позитрона равен нулю (система центра масс), по закону сохранения импульса, импульс исходного гамма-кванта также должен быть равен нулю. Однако фотон — безмассовая частица, которая в любой инерциальной системе отсчета движется со скоростью света $\text{c}$. Его импульс $p_\gamma = E_\gamma/c$ может быть равен нулю только при нулевой энергии, что противоречит самому условию рождения пары (для этого нужна энергия не менее $2m_e c^2 \approx 1.022 \text{ МэВ}$).

Когда рождение пар возможно?

Рождение электрон-позитронной пары возможно только при взаимодействии гамма-кванта с третьим телом, которое может воспринять часть импульса. Обычно это происходит в электромагнитном поле тяжелого атомного ядра. Ядро забирает на себя "избыточный" импульс, позволяя законам сохранения энергии и импульса выполниться одновременно.

Ответ: Нет, один гамма-квант не может превратиться в пару электрон-позитрон в вакууме, так как это нарушает одновременно законы сохранения энергии и импульса. Для такого процесса необходимо наличие третьего тела (например, атомного ядра), которое могло бы воспринять часть импульса.