Номер 22.16, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.16, страница 132.

Условие.

22.16**. Размещенная в вакууме биметаллическая пластина изготовлена из двух отполированных пластин: серебряной и литиевой. На поверхность серебра падает нормально пучок света с длиной волны $\lambda = 0,40$ мкм. Во сколько раз изменится действующая на пластину сила, если развернуть пластину на $180^\circ$, литиевой поверхностью к свету? Считайте, что при фотоэффекте электрон выбивается в среднем одним из 100 падающих фотонов и вылетает нормально к поверхности с максимально возможной скоростью.

Решение.

Решение 2.

Дано

Биметаллическая пластина: серебро (Ag) и литий (Li)
Длина волны падающего света, $\lambda = 0,40$ мкм
Квантовый выход фотоэффекта, $\eta = 1/100 = 0,01$

Справочные величины:

Работа выхода для серебра, $A_{вых, Ag} = 4,7$ эВ
Работа выхода для лития, $A_{вых, Li} = 2,9$ эВ
Постоянная Планка, $h = 6,63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с
Масса электрона, $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг
Заряд электрона, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$\lambda = 0,40 \text{ мкм} = 0,40 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}$
$A_{вых, Ag} = 4,7 \text{ эВ} = 4,7 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 7,52 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$
$A_{вых, Li} = 2,9 \text{ эВ} = 2,9 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 4,64 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Найти:

Отношение сил, действующих на пластину: $k = \frac{F_{Li}}{F_{Ag}}$

Решение

Сила, действующая на пластину, равна изменению импульса системы "фотоны + электроны" за единицу времени. Сила складывается из двух компонент: силы светового давления (от фотонов) и силы отдачи (от вылетающих фотоэлектронов).

Сначала определим энергию падающих фотонов:

$E_{ph} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot c} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{4 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 4,97 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Переведем энергию фотона в электрон-вольты, чтобы сравнить с работами выхода:

$E_{ph} = \frac{4,97 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж/эВ}} \approx 3,11 \text{ эВ}$

Теперь проверим условие фотоэффекта для обоих металлов. Фотоэффект наблюдается, если энергия фотона больше работы выхода ($E_{ph} > A_{вых}$).

1. Для серебра (Ag): $E_{ph} \approx 3,11 \text{ эВ} < A_{вых, Ag} = 4,7 \text{ эВ}$.
Условие не выполняется, фотоэффекта для серебра не будет.

2. Для лития (Li): $E_{ph} \approx 3,11 \text{ эВ} > A_{вых, Li} = 2,9 \text{ эВ}$.
Условие выполняется, фотоэффект для лития будет наблюдаться.

1. Расчет силы, действующей на серебряную поверхность ($F_{Ag}$).

Так как фотоэффекта нет, сила создается только давлением света. В условии сказано, что пластины отполированные. Это означает, что они хорошо отражают свет. Будем считать отражение зеркальным (упругим). При нормальном падении и полном отражении изменение импульса каждого фотона равно удвоенному начальному импульсу: $\Delta p_{ph} = 2 p_{ph}$.

Импульс одного фотона: $p_{ph} = \frac{h}{\lambda}$.

Если за время $\Delta t$ на пластину падает $N_{ph}$ фотонов, то сила, действующая на пластину, равна:

$F_{Ag} = \frac{N_{ph} \cdot \Delta p_{ph}}{\Delta t} = \frac{N_{ph} \cdot 2 p_{ph}}{\Delta t} = \dot{N}_{ph} \cdot \frac{2h}{\lambda}$

где $\dot{N}_{ph} = N_{ph}/\Delta t$ - число фотонов, падающих в секунду.

2. Расчет силы, действующей на литиевую поверхность ($F_{Li}$).

В этом случае наблюдается фотоэффект. По условию, один из ста фотонов ($\eta = 0,01$) выбивает электрон. Этот фотон поглощается. Остальные $1-\eta$ фотонов отражаются от полированной поверхности.

Сила будет складываться из трех компонент:

а) Сила от отраженных фотонов: $F_{отр} = \dot{N}_{ph} (1-\eta) \cdot 2p_{ph}$

б) Сила от поглощенных фотонов: $F_{погл} = \dot{N}_{ph} \eta \cdot p_{ph}$

в) Сила отдачи от вылетающих электронов: $F_{отд} = \dot{N}_{e} \cdot p_e$.
Число вылетающих электронов в секунду $\dot{N}_{e} = \eta \dot{N}_{ph}$. Импульс электрона $p_e = m_e v_{max}$.

Суммарная сила на литиевую пластину:

$F_{Li} = F_{отр} + F_{погл} + F_{отд} = \dot{N}_{ph} (1-\eta) 2p_{ph} + \dot{N}_{ph} \eta p_{ph} + \eta \dot{N}_{ph} p_e$

$F_{Li} = \dot{N}_{ph} [p_{ph}(2-2\eta+\eta) + \eta p_e] = \dot{N}_{ph} [(2-\eta)p_{ph} + \eta p_e]$

Найдем импульс фотоэлектрона $p_e$. Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта:

$E_k = \frac{m_e v_{max}^2}{2} = E_{ph} - A_{вых, Li}$

$E_k = 4,97 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} - 4,64 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 0,33 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

Импульс электрона связан с кинетической энергией формулой $p_e = \sqrt{2m_e E_k}$:

$p_e = \sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 0,33 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} = \sqrt{6,006 \cdot 10^{-51}} \approx 2,45 \cdot 10^{-25}$ кг·м/с

Рассчитаем импульс фотона:

$p_{ph} = \frac{h}{\lambda} = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \mathrm{Дж \cdot c}}{4 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 1,66 \cdot 10^{-27}$ кг·м/с

3. Найдем отношение сил.

$k = \frac{F_{Li}}{F_{Ag}} = \frac{\dot{N}_{ph} [(2-\eta)p_{ph} + \eta p_e]}{\dot{N}_{ph} \cdot 2p_{ph}} = \frac{(2-\eta)p_{ph} + \eta p_e}{2p_{ph}} = \frac{2-\eta}{2} + \frac{\eta p_e}{2p_{ph}}$

Подставим числовые значения:

$k = \frac{2 - 0,01}{2} + \frac{0,01 \cdot 2,45 \cdot 10^{-25} \mathrm{кг \cdot м/с}}{2 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \mathrm{кг \cdot м/с}}$

$k = \frac{1,99}{2} + \frac{0,0245 \cdot 10^{-25}}{3,32 \cdot 10^{-27}} = 0,995 + \frac{0,0245}{3,32} \cdot 10^2 \approx 0,995 + 0,00738 \cdot 100$

$k \approx 0,995 + 0,738 = 1,733$

Ответ: Сила, действующая на пластину, увеличится примерно в 1,73 раза.