Номер 22.21, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.21, страница 133.

Условие.

22.21. Найдите:

а) де-бройлевскую длину волны $\lambda_1$ протона, ускоренного разностью потенциалов $U = 3,0 \text{ MB}$;

б) де-бройлевскую длину волны $\lambda_2$ электрона, ускоренного той же разностью потенциалов.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Разность потенциалов $U = 3,0 \text{ МВ}$

Константы:
Заряд протона/электрона $e = 1,602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$
Масса протона $m_p = 1,672 \times 10^{-27} \text{ кг}$
Масса электрона $m_e = 9,109 \times 10^{-31} \text{ кг}$
Постоянная Планка $h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$
Скорость света в вакууме $c = 3,0 \times 10^8 \text{ м/с}$
Энергия покоя протона $E_{0,p} \approx 938 \text{ МэВ}$
Энергия покоя электрона $E_{0,e} \approx 0,511 \text{ МэВ}$

$U = 3,0 \times 10^6 \text{ В}$

Найти:

а) $ \lambda_1 $ — де-бройлевскую длину волны протона

б) $ \lambda_2 $ — де-бройлевскую длину волны электрона

Решение:

Длина волны де Бройля для частицы с импульсом $\text{p}$ определяется по формуле:

$ \lambda = \frac{h}{p} $

Частица с зарядом $\text{e}$, ускоренная разностью потенциалов $\text{U}$, приобретает кинетическую энергию $K = eU$. Выразим импульс частицы через ее кинетическую энергию. При этом необходимо учитывать, является ли движение частицы релятивистским (когда ее кинетическая энергия сопоставима с энергией покоя $E_0 = mc^2$) или нерелятивистским.

Кинетическая энергия, приобретаемая частицами: $K = eU = 3,0 \text{ МэВ}$.

а) де-бройлевскую длину волны $\lambda_1$ протона, ускоренного разностью потенциалов $U = 3,0$ МВ

Сравним кинетическую энергию протона $K = 3,0 \text{ МэВ}$ с его энергией покоя $E_{0,p} \approx 938 \text{ МэВ}$.

Поскольку $K \ll E_{0,p}$, движение протона является нерелятивистским. Его импульс можно найти из классической формулы для кинетической энергии: $K = \frac{p^2}{2m}$.

Отсюда импульс протона $p_p = \sqrt{2m_p K} = \sqrt{2m_p eU}$.

Вычислим импульс:

$p_p = \sqrt{2 \cdot (1,672 \times 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (1,602 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (3,0 \times 10^6 \text{ В})} \approx 1,268 \times 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Теперь найдем длину волны де Бройля для протона:

$\lambda_1 = \frac{h}{p_p} = \frac{6,626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{1,268 \times 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}} \approx 5,225 \times 10^{-15} \text{ м}$

С учетом точности исходных данных, округляем до двух значащих цифр.

Ответ: $ \lambda_1 \approx 5,2 \times 10^{-15} \text{ м} $.

б) де-бройлевскую длину волны $\lambda_2$ электрона, ускоренного той же разностью потенциалов

Сравним кинетическую энергию электрона $K = 3,0 \text{ МэВ}$ с его энергией покоя $E_{0,e} \approx 0,511 \text{ МэВ}$.

Поскольку $K > E_{0,e}$, движение электрона является релятивистским. Для нахождения импульса необходимо использовать релятивистское соотношение между полной энергией $\text{E}$, энергией покоя $E_0$ и импульсом $\text{p}$: $E^2 = (pc)^2 + E_0^2$.

Полная энергия $\text{E}$ равна сумме энергии покоя и кинетической энергии: $E = E_0 + K$.

Тогда $(E_0 + K)^2 = (pc)^2 + E_0^2$, откуда $(pc)^2 = K^2 + 2KE_0$.

Импульс электрона $p_e = \frac{\sqrt{K^2 + 2KE_0}}{c} = \frac{\sqrt{K(K + 2E_0)}}{c}$.

Вычислим величину $\text{pc}$ в МэВ:

$p_e c = \sqrt{K(K + 2E_{0,e})} = \sqrt{3,0 \text{ МэВ} \cdot (3,0 \text{ МэВ} + 2 \cdot 0,511 \text{ МэВ})} = \sqrt{3,0 \cdot 4,022} \text{ МэВ} \approx 3,474 \text{ МэВ}$

Длину волны де Бройля удобно вычислить по формуле $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{hc}{pc}$.

Произведение $hc \approx 1240 \text{ эВ} \cdot \text{нм} = 1,24 \times 10^{-3} \text{ МэВ} \cdot \text{нм}$.

$\lambda_2 = \frac{hc}{p_e c} = \frac{1,24 \times 10^{-3} \text{ МэВ} \cdot \text{нм}}{3,474 \text{ МэВ}} \approx 3,57 \times 10^{-4} \text{ нм} = 3,57 \times 10^{-13} \text{ м}$

С учетом точности исходных данных, округляем до двух значащих цифр.

Ответ: $ \lambda_2 \approx 3,6 \times 10^{-13} \text{ м} $.