Номер 22.19, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.19, страница 133.

Условие.

22.19*. Нейтральная частица, движущаяся со скоростью $\text{v}$, распадается на два фотона. Каков минимальный угол $\theta_{\text{min}}$ разлета этих фотонов?

Решение.

Решение 2.

Дано

$\text{v}$ - скорость нейтральной частицы.

$\text{c}$ - скорость света в вакууме.

Найти:

$\theta_{min}$ - минимальный угол разлета фотонов.

Решение

Для решения задачи воспользуемся законами сохранения энергии и импульса в релятивистской механике. Рассмотрим процесс распада в двух системах отсчета: в лабораторной системе (ЛСО), где частица движется со скоростью $\text{v}$, и в системе покоя частицы (системе центра масс, СЦМ).

Пусть $m_0$ - масса покоя нейтральной частицы.

1. Рассмотрение в системе покоя частицы (СЦМ)

В этой системе отсчета частица до распада покоится. Ее энергия равна энергии покоя $E'_{част} = m_0 c^2$, а импульс равен нулю, $\vec{p}'_{част} = 0$.

После распада образуются два фотона. Согласно закону сохранения импульса, их суммарный импульс должен быть равен нулю: $\vec{p}'_1 + \vec{p}'_2 = 0$, откуда следует, что $\vec{p}'_1 = -\vec{p}'_2$. Это означает, что в СЦМ фотоны разлетаются в противоположных направлениях под углом $180^\circ$.

Из $\vec{p}'_1 = -\vec{p}'_2$ следует, что модули их импульсов равны: $|\vec{p}'_1| = |\vec{p}'_2| = p'$.

По закону сохранения энергии: $E'_{част} = E'_1 + E'_2$. Энергия фотона связана с его импульсом как $E'_{ф} = p'c$. Таким образом, $m_0 c^2 = p'c + p'c = 2p'c$.

Отсюда находим энергию и импульс каждого фотона в СЦМ:

$E'_1 = E'_2 = \frac{m_0 c^2}{2}$

$p' = \frac{m_0 c}{2}$

2. Переход в лабораторную систему отсчета (ЛСО)

ЛСО движется относительно СЦМ со скоростью $-v$. Соответственно, СЦМ движется относительно ЛСО со скоростью $\text{v}$. Направим ось $\text{Ox}$ ЛСО по направлению скорости $\vec{v}$ частицы.

Угол разлета фотонов в ЛСО, $\theta$, зависит от ориентации их вылета в СЦМ относительно направления движения частицы. Чтобы найти минимальный угол $\theta_{min}$, нужно найти такую конфигурацию вылета, которая приводит к минимальному углу в ЛСО. Минимальный угол разлета будет в том случае, когда в СЦМ фотоны вылетают перпендикулярно направлению движения частицы.

Пусть в СЦМ фотоны вылетают вдоль оси $Oy'$. Тогда их импульсы в СЦМ:

$\vec{p}'_1 = (0, p', 0)$

$\vec{p}'_2 = (0, -p', 0)$

Воспользуемся преобразованиями Лоренца для компонент импульса при переходе из СЦМ в ЛСО:

$p_x = \gamma (p'_x + \frac{v}{c^2} E')$

$p_y = p'_y$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - Лоренц-фактор, $p'_x=0$ - проекция импульса фотона на ось $Ox'$ в СЦМ, $E' = \frac{m_0 c^2}{2}$ - энергия фотона в СЦМ.

Для первого фотона компоненты импульса в ЛСО будут:

$p_{1x} = \gamma (0 + \frac{v}{c^2} \frac{m_0 c^2}{2}) = \frac{\gamma m_0 v}{2}$

$p_{1y} = p' = \frac{m_0 c}{2}$

Для второго фотона:

$p_{2x} = \gamma (0 + \frac{v}{c^2} \frac{m_0 c^2}{2}) = \frac{\gamma m_0 v}{2}$

$p_{2y} = -p' = -\frac{m_0 c}{2}$

В ЛСО оба фотона имеют одинаковую продольную компоненту импульса $p_x$ и противоположные по знаку поперечные компоненты $p_y$. Это симметричный случай, и угол разлета $\theta_{min}$ будет равен удвоенному углу $\phi$, который вектор импульса каждого фотона составляет с осью $\text{Ox}$.

$\tan \phi = \frac{|p_y|}{|p_x|} = \frac{m_0 c / 2}{\gamma m_0 v / 2} = \frac{c}{\gamma v}$

Угол разлета $\theta_{min} = 2\phi$. Мы ищем $\cos(\theta_{min}) = \cos(2\phi)$. Используем тригонометрическую формулу $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$.

Связь между тангенсом и косинусом: $\frac{1}{\cos^2\phi} = 1 + \tan^2\phi$.

$\frac{1}{\cos^2\phi} = 1 + (\frac{c}{\gamma v})^2 = 1 + \frac{c^2}{\gamma^2 v^2} = 1 + \frac{c^2(1-v^2/c^2)}{v^2} = 1 + \frac{c^2}{v^2} - 1 = \frac{c^2}{v^2}$

Отсюда $\cos^2\phi = \frac{v^2}{c^2}$.

Теперь находим косинус минимального угла разлета:

$\cos\theta_{min} = 2\cos^2\phi - 1 = 2\frac{v^2}{c^2} - 1$

Сам угол равен:

$\theta_{min} = \arccos(2\frac{v^2}{c^2} - 1)$

Используя формулу $2\arccos(x) = \arccos(2x^2-1)$ для $x \ge 0$, можно также записать:

$\theta_{min} = 2\arccos(\frac{v}{c})$

Ответ: Минимальный угол разлета фотонов $\theta_{min}$ определяется соотношением $\cos\theta_{min} = 2\frac{v^2}{c^2} - 1$, что эквивалентно $\theta_{min} = 2\arccos(\frac{v}{c})$.