Номер 22.26, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.26, страница 133.

Условие.

22.26. Период полураспада радиоактивного йода-131 равен восьми суткам. За какое время $\text{t}$ количество атомов йода-131 уменьшится в 1000 раз?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$T_{1/2} = 8$ суток

$\frac{N_0}{N} = 1000$

Перевод в систему СИ:

$T_{1/2} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение количества нераспавшихся ядер $\text{N}$ со временем $\text{t}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N_0$ — начальное количество ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

По условию задачи, количество атомов йода-131 должно уменьшиться в 1000 раз, следовательно, отношение начального количества атомов $N_0$ к конечному $\text{N}$ равно 1000:

$\frac{N_0}{N} = 1000$

Выразим это отношение из закона распада:

$\frac{N_0}{N} = \frac{N_0}{N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}} = \frac{1}{2^{-t/T_{1/2}}} = 2^{t/T_{1/2}}$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению:

$2^{t/T_{1/2}} = 1000$

Чтобы найти $\text{t}$, необходимо решить это показательное уравнение. Для этого прологарифмируем обе части уравнения. Удобно использовать логарифм по основанию 2:

$\log_2(2^{t/T_{1/2}}) = \log_2(1000)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \log_2(1000)$

Отсюда выражаем время $\text{t}$:

$t = T_{1/2} \cdot \log_2(1000)$

Для вычисления $\log_2(1000)$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию (например, к натуральному логарифму ln):

$\log_2(1000) = \frac{\ln(1000)}{\ln(2)} \approx \frac{6.907755}{0.693147} \approx 9.9658$

Теперь можем вычислить время $\text{t}$, подставив известные значения:

$t = 8 \text{ суток} \cdot 9.9658 \approx 79.7264 \text{ суток}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $t \approx 79.7$ суток.