Номер 22.27, страница 133 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.27, страница 133.

Условие.

22.27** В образцах урановой руды всегда содержится некоторое количество атомов тория-234, образовавшихся в результате $\alpha$-распада урана-238 (период полураспада $T_U = 4,5 \cdot 10^9$ лет). Торий также радиоактивен (период полураспада $T_{Th} = 24$ сут). Сколько атомов тория содержится в образце урановой руды, в котором находится $m = 0,5$ г урана-238?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$T_U = 4,5 \cdot 10^9$ лет (период полураспада урана-238)

$T_{Th} = 24$ сут (период полураспада тория-234)

$m_U = 0,5$ г (масса урана-238)

$M_U \approx 238$ г/моль (молярная масса урана-238)

$N_A = 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹ (число Авогадро)

Перевод в единые единицы измерения (сутки):

$m_U = 0,5 \text{ г}$

$T_U = 4,5 \cdot 10^9 \text{ лет} \approx 4,5 \cdot 10^9 \cdot 365 \text{ сут} = 1,6425 \cdot 10^{12}$ сут

$T_{Th} = 24$ сут

Найти:

$N_{Th}$ — количество атомов тория-234.

Решение:

Атомы тория-234 образуются в результате α-распада атомов урана-238. В свою очередь, атомы тория-234 также являются радиоактивными и распадаются. Поскольку период полураспада урана-238 ($T_U = 4,5 \cdot 10^9$ лет) намного больше периода полураспада тория-234 ($T_{Th} = 24$ сут), в системе устанавливается вековое равновесие. При вековом равновесии скорость образования дочерних ядер (тория-234) равна скорости их распада. Скорость образования ядер тория равна скорости распада (активности) ядер урана.

Активность $\text{A}$ определяется формулой $A = \lambda N$, где $\lambda$ — постоянная распада, а $\text{N}$ — число атомов. Постоянная распада связана с периодом полураспада $\text{T}$ соотношением $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.

В состоянии векового равновесия активности материнского и дочернего изотопов равны:

$A_U = A_{Th}$

$\lambda_U N_U = \lambda_{Th} N_{Th}$

Подставив выражения для постоянных распада, получим:

$\frac{\ln 2}{T_U} N_U = \frac{\ln 2}{T_{Th}} N_{Th}$

Отсюда следует соотношение для числа атомов:

$\frac{N_U}{T_U} = \frac{N_{Th}}{T_{Th}}$

Выразим искомое количество атомов тория $N_{Th}$:

$N_{Th} = N_U \frac{T_{Th}}{T_U}$

Сначала найдем число атомов урана-238 ($N_U$) в образце массой $m_U = 0,5$ г. Число атомов связано с массой через число Авогадро $N_A$ и молярную массу $M_U$:

$N_U = \frac{m_U}{M_U} N_A$

$N_U = \frac{0,5 \text{ г}}{238 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,265 \cdot 10^{21}$ атомов

Теперь можем рассчитать число атомов тория $N_{Th}$. Для этого необходимо, чтобы периоды полураспада $T_U$ и $T_{Th}$ были выражены в одинаковых единицах. Мы уже перевели $T_U$ в сутки.

Подставляем известные значения в формулу для $N_{Th}$:

$N_{Th} = 1,265 \cdot 10^{21} \cdot \frac{24 \text{ сут}}{1,6425 \cdot 10^{12} \text{ сут}} \approx 1,848 \cdot 10^{10}$ атомов

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$N_{Th} \approx 1,8 \cdot 10^{10}$ атомов.

Ответ: в образце урановой руды содержится примерно $1,8 \cdot 10^{10}$ атомов тория.