Номер 22.13, страница 132 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.13, страница 132.

Условие.

22.13* Может ли свободный электрон поглотить фотон, ничего при этом не излучив?

Решение.

Решение 2.

Нет, свободный электрон не может поглотить фотон, ничего при этом не излучив. Такой процесс нарушил бы одновременно законы сохранения энергии и импульса. Чтобы доказать это, рассмотрим данный гипотетический процесс с точки зрения этих законов.

Решение

Предположим, что процесс поглощения фотона свободным электроном возможен. Для простоты будем рассматривать ситуацию в системе отсчета, где электрон до взаимодействия покоится.

Характеристики частиц до взаимодействия: энергия покоящегося электрона – $E_e = m_e c^2$, его импульс – $\vec{p}_e = 0$. Фотон обладает энергией $E_{ph}$ и импульсом $\vec{p}_{ph}$ (модуль которого $p_{ph} = E_{ph}/c$).

Суммарная энергия системы до взаимодействия равна $E_{до} = E_e + E_{ph} = m_e c^2 + E_{ph}$.

Суммарный импульс системы до взаимодействия равен $\vec{P}_{до} = \vec{p}_e + \vec{p}_{ph} = \vec{p}_{ph}$.

После поглощения фотона остается только электрон, который будет двигаться со скоростью $\vec{v}$. Его релятивистская энергия и импульс равны:

$E_{после} = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$\vec{P}_{после} = \frac{m_e \vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Применим законы сохранения.

Из закона сохранения энергии ($E_{до} = E_{после}$):

$m_e c^2 + E_{ph} = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (1)

Из закона сохранения импульса ($\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$):

$\vec{p}_{ph} = \frac{m_e \vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Переходя к модулям векторов, получаем: $p_{ph} = \frac{m_e v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Поскольку для фотона $E_{ph} = p_{ph}c$, мы можем записать:

$E_{ph} = \frac{m_e v c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ (2)

Теперь подставим выражение для энергии фотона $E_{ph}$ из уравнения (2) в уравнение (1):

$m_e c^2 + \frac{m_e v c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{m_e c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Разделим все члены уравнения на $m_e c$:

$c + \frac{v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{1 - v^2/c^2}$:

$c \sqrt{1 - v^2/c^2} + v = c$

$c \sqrt{1 - v^2/c^2} = c - v$

Разделим обе части на $\text{c}$:

$\sqrt{1 - v^2/c^2} = 1 - v/c$

Возведем обе части в квадрат (так как $v < c$, обе части неотрицательны):

$1 - v^2/c^2 = (1 - v/c)^2$

$1 - v^2/c^2 = 1 - 2v/c + v^2/c^2$

$0 = 2v^2/c^2 - 2v/c$

$0 = \frac{2v}{c} (\frac{v}{c} - 1)$

Это уравнение имеет два решения:

1. $v = 0$. Если скорость электрона после поглощения равна нулю, то из уравнения сохранения импульса (2) следует, что $E_{ph}=0$. Это означает, что фотона не существовало. Поглощать было нечего.

2. $v/c = 1$, то есть $v = c$. Это невозможно, так как электрон — частица, обладающая массой покоя, и не может двигаться со скоростью света.

Оба возможных решения приводят к противоречию или физически нереализуемой ситуации. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, свободный электрон не может поглотить фотон. Для такого процесса необходимо участие третьего тела (например, атомного ядра), которое может воспринять часть импульса, чтобы законы сохранения энергии и импульса выполнялись одновременно. Именно это и происходит при фотоэффекте, где электрон связан с атомом.

Ответ: Нет, не может. Такой процесс запрещён законами сохранения энергии и импульса.