Номер 22.9, страница 131 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Теория относительности и атомная физика. 22. Кванты, атомы, ядра, частицы - номер 22.9, страница 131.

Условие.

22.9*. Находящийся в вакууме легкий цилиндр может с очень малым трением вращаться вокруг своей оси (см. рисунок). Половина поверхности цилиндра окрашена в черный цвет, другая половина — зеркальная. Каким будет положение устойчивого равновесия цилиндра под действием света, если световые лучи перпендикулярны оси цилиндра?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи рассмотрим силы, действующие на цилиндр со стороны света, и создаваемые ими моменты сил (вращающие моменты) относительно оси цилиндра.

Свет, представляющий собой поток фотонов, обладает импульсом и при взаимодействии с поверхностью оказывает на нее давление. Характер этого взаимодействия зависит от свойств поверхности.

1. Черная поверхность.
Черная поверхность полностью поглощает падающий на нее свет. При поглощении фотон передает свой импульс поверхности. В результате на поверхность действует сила, направленная в ту же сторону, что и падающие световые лучи.

2. Зеркальная поверхность.
Зеркальная поверхность отражает свет. При отражении импульс фотона меняет направление. По закону сохранения импульса, изменение импульса фотона равно импульсу, переданному поверхности. Для зеркальной поверхности сила давления направлена по нормали (перпендикулярно) к поверхности в точке падения луча.

Анализ вращающего момента (торка)

Вращающий момент создается силой, линия действия которой не проходит через ось вращения.

• Для зеркальной поверхности: Сила светового давления в каждой точке направлена по нормали к цилиндрической поверхности. Все нормали к поверхности цилиндра пересекают его ось. Следовательно, сила давления на зеркальную половину цилиндра не создает вращающего момента относительно его оси.
• Для черной поверхности: Сила светового давления в каждой точке направлена параллельно падающим лучам (перпендикулярно оси цилиндра). В общем случае линия действия этой силы не проходит через ось, а значит, создает вращающий момент.

Таким образом, вращение цилиндра будет определяться исключительно силами, действующими на освещенную часть его черной поверхности.

Положения равновесия

Равновесие наступает тогда, когда суммарный вращающий момент равен нулю. Это возможно в двух случаях:

Положение А: Черная поверхность полностью обращена к свету.
В этом случае вся освещенная половина цилиндра черная. Падающий свет создает силы, направленные параллельно друг другу. Из-за симметрии распределения этих сил относительно плоскости, проходящей через ось цилиндра и параллельной лучам света, суммарный вращающий момент равен нулю. Это положение равновесия.

Положение Б: Зеркальная поверхность полностью обращена к свету.
В этом случае освещена только зеркальная поверхность. Как мы выяснили, она не создает вращающего момента. Черная поверхность находится в тени и не освещается, поэтому на нее свет не действует. Суммарный вращающий момент также равен нулю. Это второе положение равновесия.

Анализ устойчивости равновесия

Устойчивым является то положение равновесия, при малом отклонении от которого возникает возвращающий момент сил, стремящийся вернуть тело в исходное положение.

Устойчивость положения А (черная поверхность к свету):
Рассмотрим небольшое вращение цилиндра из этого положения, например, против часовой стрелки. При этом небольшой участок черной поверхности с левого края освещенной зоны уйдет в тень, а на его место встанет участок зеркальной поверхности. С правого же края в освещенную зону войдет небольшой участок черной поверхности, который был в тени.

Вращающий момент создается только силами на черной поверхности. Момент силы от элемента поверхности пропорционален $d\tau \propto -x \cdot dF$, где $\text{x}$ — расстояние от центральной плоскости. На правой половине ($x>0$) момент направлен по часовой стрелке, на левой ($x<0$) — против. При повороте против часовой стрелки из освещенной зоны уходит участок черной поверхности слева (уменьшается момент против часовой стрелки) и добавляется участок черной поверхности справа (увеличивается момент по часовой стрелке). Оба эффекта создают суммарный момент по часовой стрелке, который стремится вернуть цилиндр в исходное положение.

Проведем более строгий анализ. Пусть свет падает вдоль оси $-y$, а ось цилиндра — ось $\text{z}$. Освещенная область соответствует углам $\phi \in [0, \pi]$. Вращающий момент от элемента черной поверхности на угле $\phi$ пропорционален $-\sin(\phi)\cos(\phi)$.При повороте против часовой стрелки на малый угол $\theta$, освещенная черная область становится $[\theta, \pi]$. Интеграл момента сил по этой области оказывается направлен против часовой стрелки (положительный). То есть, момент направлен в ту же сторону, что и отклонение. Он будет раскручивать цилиндр дальше. Следовательно, это положение неустойчиво.(Примечание: первоначальный интуитивный анализ был неточным, математический анализ показывает обратное).

Устойчивость положения Б (зеркальная поверхность к свету):
Рассмотрим небольшое вращение цилиндра из этого положения против часовой стрелки. При этом на левом краю освещенной зоны появится небольшой освещенный участок черной поверхности. На этот участок будет действовать сила, создающая момент, направленный против часовой стрелки.

Проведем более строгий анализ. В исходном положении черная поверхность находится в области $[\pi, 2\pi]$. При повороте против часовой стрелки на угол $\theta$, черная поверхность смещается в область $[\pi+\theta, 2\pi+\theta]$. Но это неверная модель.Правильная модель: Пусть ориентация задается углом $\alpha$ начала черной области. Положение Б соответствует $\alpha = \pi$. Отклонение против часовой стрелки означает, что $\alpha$ уменьшается, например $\alpha = \pi - \theta$. Тогда черная область $[\pi-\theta, 2\pi-\theta]$. Освещенная область $[0, \pi]$. Освещенная черная область — это их пересечение, т.е. $[\pi-\theta, \pi]$. Момент сил, создаваемый этой областью, направлен против часовой стрелки. Отклонение же было по часовой стрелке (угол $\alpha$ уменьшился). Момент направлен в сторону, противоположную отклонению. Он стремится вернуть цилиндр в исходное положение. Следовательно, это положение устойчиво.

Таким образом, цилиндр займет положение, в котором его зеркальная половина обращена к источнику света.

Ответ:Положением устойчивого равновесия будет такое, при котором зеркальная половина поверхности цилиндра обращена к свету, а черная находится в тени.