Номер 627, страница 97 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Работа и мощность электрического тока - номер 627, страница 97.

Условие.

627. Ёлочная гирлянда состоит из 40 лампочек, соединённых последовательно и питаемых от электрической сети напряжением 220 В. После того как одна лампочка перегорела, оставшиеся 39 снова соединили последовательно и включили в сеть. При 40 или 39 лампочках гирлянда светила ярче? Ответ поясните.

Решение.

Дано:

Начальное количество лампочек, $N_1 = 40$
Конечное количество лампочек, $N_2 = 39$
Напряжение в сети, $U = 220$ В

Найти:

При каком количестве лампочек (40 или 39) гирлянда светила ярче?

Решение:

Яркость свечения гирлянды зависит от мощности, выделяемой на каждой отдельной лампочке. Чем выше мощность, тем ярче светит лампочка. Будем считать все лампочки одинаковыми, с одинаковым сопротивлением $\text{r}$.

Лампочки в гирлянде соединены последовательно. Общее сопротивление цепи при последовательном соединении равно сумме сопротивлений всех ее элементов.

1. Случай с 40 лампочками.
Общее сопротивление гирлянды: $R_1 = N_1 \cdot r = 40r$.
Согласно закону Ома, сила тока в цепи: $I_1 = \frac{U}{R_1} = \frac{220}{40r}$.
Мощность, выделяемая на одной лампочке, определяется по формуле $P = I^2 r$.
$P_1 = I_1^2 \cdot r = (\frac{220}{40r})^2 \cdot r = \frac{220^2}{40^2 \cdot r^2} \cdot r = \frac{220^2}{1600r}$.

2. Случай с 39 лампочками.
Общее сопротивление гирлянды: $R_2 = N_2 \cdot r = 39r$.
Сила тока в цепи: $I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{220}{39r}$.
Мощность, выделяемая на одной лампочке:
$P_2 = I_2^2 \cdot r = (\frac{220}{39r})^2 \cdot r = \frac{220^2}{39^2 \cdot r^2} \cdot r = \frac{220^2}{1521r}$.

3. Сравнение мощностей.
Сравним мощности $P_1$ и $P_2$.
$P_1 = \frac{220^2}{1600r}$ и $P_2 = \frac{220^2}{1521r}$.
Числители в обоих выражениях одинаковы. Сравним знаменатели: $1600r > 1521r$.
Дробь тем больше, чем меньше ее знаменатель. Так как знаменатель у $P_2$ меньше, то $P_2 > P_1$.

Это означает, что мощность каждой лампочки в гирлянде из 39 штук больше, чем мощность каждой лампочки в гирлянде из 40 штук. Следовательно, каждая лампочка (и вся гирлянда в целом) будет светить ярче.

Другое объяснение: при последовательном соединении напряжение сети делится между лампочками. Напряжение на одной лампочке $U_{ламп} = U/N$.
В первом случае: $U_1 = 220/40 = 5.5$ В.
Во втором случае: $U_2 = 220/39 \approx 5.64$ В.
Так как напряжение на каждой лампочке во втором случае выше, то и мощность ($P=U_{ламп}^2/r$) будет больше, а значит, и светить она будет ярче.

Ответ: Гирлянда светила ярче, когда в ней было 39 лампочек, так как при уменьшении общего сопротивления цепи возрастает сила тока, и, соответственно, увеличивается мощность, выделяемая на каждой лампочке.