Номер 708, страница 110 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Закон Джоуля—Ленца - номер 708, страница 110.

Условие.

► 708. Имеется металлическое кольцо из проволоки равного поперечного сечения (рис. 142). Исследуйте, при каком положении контактов А и В в кольце выделится большее количество теплоты; меньшее количество теплоты.

Рис. 142

Решение.

Дано:

Металлическое кольцо из проволоки равного поперечного сечения.

Источник постоянного напряжения $\text{U}$.

Найти:

При каком положении контактов А и В в кольце выделится большее количество теплоты; меньшее количество теплоты.

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, которое выделяется в проводнике за время $\text{t}$, определяется законом Джоуля-Ленца. Для участка цепи с постоянным напряжением $\text{U}$ формула имеет вид:

$Q = \frac{U^2}{R_{общ}} t$

где $R_{общ}$ — общее сопротивление цепи. Поскольку напряжение источника $\text{U}$ и время $\text{t}$ являются постоянными величинами, количество выделяемой теплоты $\text{Q}$ обратно пропорционально общему сопротивлению $R_{общ}$:

$Q \propto \frac{1}{R_{общ}}$

Таким образом, для нахождения условий выделения максимального и минимального количества теплоты, необходимо исследовать, при каких положениях контактов А и В общее сопротивление $R_{общ}$ будет минимальным и максимальным.

При подключении источника тока к точкам А и В, металлическое кольцо можно рассматривать как два параллельно соединенных проводника (две дуги). Пусть полное сопротивление всей проволоки кольца равно $R_0$. Обозначим сопротивление одной дуги между точками А и В как $R_1$, тогда сопротивление второй дуги будет $R_2 = R_0 - R_1$.

Общее сопротивление $R_{общ}$ при параллельном соединении этих двух дуг вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Отсюда:

$R_{общ} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R_1 (R_0 - R_1)}{R_0}$

Теперь исследуем это выражение на экстремум.

большее количество теплоты

Максимальное количество теплоты будет выделяться при минимальном общем сопротивлении $R_{общ}$. Сопротивление $R_{общ} = \frac{R_1 (R_0 - R_1)}{R_0}$ принимает минимальное значение, когда числитель $R_1 (R_0 - R_1)$ минимален. Это происходит, когда сопротивление одной из дуг $R_1$ стремится к нулю (то есть, когда точки А и В почти совпадают). В этом случае $R_{общ}$ также стремится к нулю. Следовательно, чем ближе друг к другу расположены контакты А и В, тем меньше общее сопротивление и тем больше выделяемая теплота.

Ответ: Большее количество теплоты выделится, когда контакты A и B находятся как можно ближе друг к другу.

меньшее количество теплоты

Минимальное количество теплоты будет выделяться при максимальном общем сопротивлении $R_{общ}$. Нам нужно найти максимальное значение функции $f(R_1) = R_1 (R_0 - R_1)$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум такой функции достигается в её вершине. Координата вершины по оси абсцисс для параболы $y = ax^2+bx+c$ равна $x_v = -b/2a$. В нашем случае $f(R_1) = -R_1^2 + R_0 R_1$, где $a=-1$, $b=R_0$. Таким образом, максимум достигается при $R_1 = -R_0 / (2 \cdot (-1)) = \frac{R_0}{2}$.

Если $R_1 = \frac{R_0}{2}$, то и $R_2 = R_0 - R_1 = \frac{R_0}{2}$. Равенство сопротивлений дуг означает равенство их длин. Это возможно, когда точки А и В делят кольцо на две равные половины, то есть расположены диаметрально противоположно. При этом общее сопротивление будет максимальным и равным:

$R_{общ, max} = \frac{\frac{R_0}{2} \cdot \frac{R_0}{2}}{R_0} = \frac{R_0^2 / 4}{R_0} = \frac{R_0}{4}$

Ответ: Меньшее количество теплоты выделится, когда контакты A и B расположены диаметрально противоположно.