Номер 706, страница 109 - гдз по физике 8 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Электрические явления. Закон Джоуля—Ленца - номер 706, страница 109.

Условие.

► 706. Если электроплитка имеет две спирали одинаковой мощности, то она рассчитана на три режима нагревания; если две спирали неодинаковой мощности, то на четыре режима. Докажите это.

Решение.

Решение

Мощность электроплитки $\text{P}$ связана с напряжением сети $\text{U}$ и сопротивлением спирали $\text{R}$ формулой $P = \frac{U^2}{R}$. Поскольку напряжение сети $\text{U}$ постоянно, мощность нагрева определяется только общим сопротивлением подключенных спиралей. Различным режимам нагрева соответствуют различные значения суммарной мощности.

Пусть электроплитка имеет две спирали с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$. Мощности, выделяемые на этих спиралях при индивидуальном подключении к сети, равны $P_1 = \frac{U^2}{R_1}$ и $P_2 = \frac{U^2}{R_2}$ соответственно.

Существуют четыре возможных способа подключения этих спиралей, которые могут давать разную общую мощность:
1. Включена только первая спираль (мощность $P_I = P_1$).
2. Включена только вторая спираль (мощность $P_{II} = P_2$).
3. Спирали соединены последовательно (общее сопротивление $R_{посл} = R_1 + R_2$, мощность $P_{посл} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$).
4. Спирали соединены параллельно (мощность $P_{пар} = P_1 + P_2$).

Рассмотрим два случая, описанных в задаче, и докажем утверждения.

Если электроплитка имеет две спирали одинаковой мощности, то она рассчитана на три режима нагревания

В этом случае мощности спиралей при индивидуальном включении равны: $P_1 = P_2 = P$.
Из равенства мощностей следует равенство их сопротивлений: $R_1 = R_2 = R$.
Найдем мощности для всех возможных способов подключения:
1. Включена только первая спираль: $P_I = P_1 = P$.
2. Включена только вторая спираль: $P_{II} = P_2 = P$.
3. Последовательное соединение: $P_{посл} = \frac{U^2}{R+R} = \frac{U^2}{2R} = \frac{1}{2}P$.
4. Параллельное соединение: $P_{пар} = P_1 + P_2 = P + P = 2P$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что первые два способа подключения (включение каждой спирали по отдельности) дают одинаковую мощность $\text{P}$. Таким образом, у нас есть три различных значения мощности: $\frac{1}{2}P$, $\text{P}$ и $\text{2P}$. Каждое уникальное значение мощности соответствует отдельному режиму нагрева.

Ответ: Утверждение доказано. Если две спирали имеют одинаковую мощность $\text{P}$, то возможны три уникальных режима нагрева, соответствующих мощностям $\frac{1}{2}P$, $\text{P}$ и $\text{2P}$.

Если две спирали неодинаковой мощности, то на четыре режима

В этом случае мощности спиралей при индивидуальном включении различны: $P_1 \neq P_2$.
Это означает, что и их сопротивления различны: $R_1 \neq R_2$.
Рассмотрим мощности для четырех способов подключения:
1. Мощность $P_I = P_1$.
2. Мощность $P_{II} = P_2$.
3. Мощность $P_{посл} = \frac{U^2}{R_1 + R_2}$.
4. Мощность $P_{пар} = P_1 + P_2$.

Докажем, что все четыре значения мощности различны.
• $P_1 \neq P_2$ по условию. Это дает нам два разных режима.
• Так как сопротивления $R_1 > 0$ и $R_2 > 0$, то общее сопротивление при последовательном соединении $R_1+R_2$ больше сопротивления каждой из спиралей: $R_1+R_2 > R_1$ и $R_1+R_2 > R_2$. Следовательно, мощность $P_{посл} = \frac{U^2}{R_1+R_2}$ будет меньше мощностей $P_1$ и $P_2$. Значит, $P_{посл}$ - это новое, третье, значение мощности (самое низкое).
• Так как мощности $P_1 > 0$ и $P_2 > 0$, то их сумма при параллельном соединении $P_{пар} = P_1+P_2$ будет больше каждой из мощностей: $P_{пар} > P_1$ и $P_{пар} > P_2$. Значит, $P_{пар}$ - это новое, четвертое, значение мощности (самое высокое).

Таким образом, мы получаем четыре различных значения мощности: $P_{посл}$, $P_1$, $P_2$ и $P_{пар}$. Это соответствует четырем режимам нагревания.

Ответ: Утверждение доказано. Если две спирали имеют разную мощность, то все четыре способа подключения (каждая спираль по отдельности, последовательное и параллельное соединение) дают четыре уникальных значения общей мощности, что соответствует четырем режимам нагрева.