Страница 35 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

6. Ученик провёл физический эксперимент: в воду массой $250 \text{ г}$ он опустил нагретое в кипящей воде до $100 \text{ °С}$ металлическое тело массой $100 \text{ г}$. Начальная температура воды $20 \text{ °С}$, после установления теплового равновесия температура стала $24.5 \text{ °С}$. Определите по данным опыта удельную теплоёмкость металлического тела, если:

а) теплообменом с окружающей средой и сосудом можно пренебречь;

б) вода налита в алюминиевый стакан массой $60 \text{ г}$, а теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

Дано:

Масса воды, $m_в$ = 250 г = 0.25 кг

Масса металлического тела, $m_м$ = 100 г = 0.1 кг

Начальная температура металлического тела, $t_{м1}$ = 100 °С

Начальная температура воды, $t_{в1}$ = 20 °С

Конечная температура (температура теплового равновесия), $\theta$ = 24,5 °С

Масса алюминиевого стакана, $m_{ал}$ = 60 г = 0.06 кг (для пункта б)

Удельная теплоёмкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$ (табличное значение)

Удельная теплоёмкость алюминия, $c_{ал} = 920 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$ (табличное значение, для пункта б)

Найти:

Удельную теплоёмкость металлического тела, $c_м$ - ?

Решение:

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. В изолированной системе количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными телами. Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела или выделяемое при его охлаждении, определяется по формуле: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$, где $c$ – удельная теплоёмкость вещества, $m$ – масса тела, а $\Delta t$ – изменение его температуры.

а) теплообменом с окружающей средой и сосудом можно пренебречь;

В этом случае теплообмен происходит только между металлическим телом и водой. Металлическое тело отдает тепло, а вода получает его.

Количество теплоты, отданное металлическим телом: $Q_{отданное} = c_м \cdot m_м \cdot (t_{м1} - \theta)$.

Количество теплоты, полученное водой: $Q_{полученное} = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_{в1})$.

Составим уравнение теплового баланса: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$.

$c_м \cdot m_м \cdot (t_{м1} - \theta) = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_{в1})$

Выразим из этого уравнения искомую удельную теплоёмкость металлического тела $c_м$:

$c_м = \frac{c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_{в1})}{m_м \cdot (t_{м1} - \theta)}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$c_м = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0.25 \text{ кг} \cdot (24.5 \text{°C} - 20 \text{°C})}{0.1 \text{ кг} \cdot (100 \text{°C} - 24.5 \text{°C})} = \frac{4200 \cdot 0.25 \cdot 4.5}{0.1 \cdot 75.5} = \frac{4725}{7.55} \approx 625.83 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Округлим результат до целого числа.

Ответ: $c_м \approx 626 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$.

б) вода налита в алюминиевый стакан массой 60 г, а теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

В этом случае в теплообмене участвуют три тела: металлическое тело отдает тепло, а вода и алюминиевый стакан получают его. Начальная температура стакана равна начальной температуре воды, $t_{ал1} = t_{в1} = 20 \text{°С}$.

Количество теплоты, отданное металлическим телом, остается прежним: $Q_{отданное} = c_м \cdot m_м \cdot (t_{м1} - \theta)$.

Количество теплоты, полученное водой и стаканом: $Q_{полученное} = Q_{воды} + Q_{стакана}$.

$Q_{полученное} = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_{в1}) + c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot (\theta - t_{в1})$.

Составим уравнение теплового баланса:

$c_м \cdot m_м \cdot (t_{м1} - \theta) = c_в \cdot m_в \cdot (\theta - t_{в1}) + c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot (\theta - t_{в1})$

Можно вынести общий множитель $(\theta - t_{в1})$ за скобки в правой части уравнения:

$c_м \cdot m_м \cdot (t_{м1} - \theta) = (c_в \cdot m_в + c_{ал} \cdot m_{ал}) \cdot (\theta - t_{в1})$

Выразим удельную теплоёмкость $c_м$:

$c_м = \frac{(c_в \cdot m_в + c_{ал} \cdot m_{ал}) \cdot (\theta - t_{в1})}{m_м \cdot (t_{м1} - \theta)}$

Подставим числовые значения:

$c_м = \frac{(4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0.25 \text{ кг} + 920 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0.06 \text{ кг}) \cdot (24.5 \text{°C} - 20 \text{°C})}{0.1 \text{ кг} \cdot (100 \text{°C} - 24.5 \text{°C})}$

$c_м = \frac{(1050 + 55.2) \cdot 4.5}{0.1 \cdot 75.5} = \frac{1105.2 \cdot 4.5}{7.55} = \frac{4973.4}{7.55} \approx 658.73 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$

Округлим результат до целого числа.

Ответ: $c_м \approx 659 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$.

ЗАДАНИЕ

▪ Придумайте несколько задач, используя данные таблицы 1. Обменяйтесь с товарищем условиями задач и решите их.

В представленном задании требуется придумать и решить несколько задач, используя данные из «Таблицы 1». Поскольку сама таблица не была предоставлена, для выполнения задания будет создана гипотетическая таблица с плотностями некоторых веществ, на основе которой будут составлены и решены две задачи.

Гипотетическая Таблица 1. Плотность некоторых веществ

Задача 1. Определите массу алюминиевого куба с длиной ребра 20 см.

Дано:

$a = 20 \text{ см}$

$\rho_{ал} = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}$ (из таблицы)

Перевод в систему СИ:

$a = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

$m - ?$

Решение:

Масса тела определяется по формуле: $m = \rho \cdot V$, где $ \rho $ - плотность вещества, а $ V $ - его объем.

Сначала найдем объем куба. Объем куба вычисляется как длина его ребра в третьей степени:

$V = a^3$

Подставим значение длины ребра в метрах:

$V = (0.2 \text{ м})^3 = 0.008 \text{ м³}$

Теперь, зная объем куба и плотность алюминия из таблицы, можем рассчитать массу:

$m = \rho_{ал} \cdot V = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м³}} \cdot 0.008 \text{ м³} = 21.6 \text{ кг}$

Ответ: масса алюминиевого куба составляет 21.6 кг.

Задача 2. Стальной шарик имеет массу 390 г. Какой объем он занимает? Каков его радиус?

Дано:

$m = 390 \text{ г}$

$\rho_{ст} = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}$ (из таблицы)

Перевод в систему СИ:

$m = 390 \text{ г} = 0.39 \text{ кг}$

Найти:

$V - ?, R - ?$

Решение:

Для нахождения объема воспользуемся формулой, связывающей массу, плотность и объем: $m = \rho \cdot V$.

Выразим из этой формулы объем:

$V = \frac{m}{\rho}$

Подставим известные значения массы и плотности стали:

$V = \frac{0.39 \text{ кг}}{7800 \frac{\text{кг}}{\text{м³}}} = 0.00005 \text{ м³}$

Этот объем можно для наглядности перевести в кубические сантиметры: $0.00005 \text{ м³} = 50 \text{ см³}$.

Теперь найдем радиус шарика. Объем шара связан с его радиусом $ R $ следующей формулой:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Выразим из этой формулы радиус $ R $:

$R^3 = \frac{3V}{4\pi}$

$R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

Подставим значение объема в м³ и примем $ \pi \approx 3.14159 $:

$R = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 0.00005 \text{ м³}}{4 \cdot 3.14159}} = \sqrt[3]{\frac{0.00015}{12.56636}} \approx \sqrt[3]{0.000011936} \text{ м}$

Вычислим кубический корень:

$R \approx 0.02285 \text{ м}$

Переведем радиус в сантиметры:

$R \approx 0.02285 \cdot 100 \text{ см} \approx 2.29 \text{ см}$

Ответ: объем стального шарика равен $5 \cdot 10^{-5} \text{ м³}$ (или 50 см³), а его радиус приблизительно равен 2.29 см.

На сколько градусов нагреется вода массой 250 г, если ей сообщить количество теплоты, равное 2200 кал?

Дано

Масса воды, $m = 250$ г

Количество теплоты, $Q = 2200$ кал

Удельная теплоемкость воды, $c$

Перевод в систему СИ:

Масса: $m = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$

Количество теплоты: $Q = 2200 \text{ кал} = 2200 \cdot 4.2 \text{ Дж} = 9240 \text{ Дж}$ (приняв $1 \text{ кал} \approx 4.2 \text{ Дж}$)

Удельная теплоемкость воды: $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Найти:

Изменение температуры воды, $\Delta t$

Решение

Количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, определяется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $Q$ - количество теплоты, $c$ - удельная теплоемкость вещества, $m$ - масса вещества, а $\Delta t$ - изменение температуры.

Чтобы найти, на сколько градусов нагреется вода, выразим из этой формулы изменение температуры $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{Q}{c \cdot m}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$\Delta t = \frac{9240 \text{ Дж}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.25 \text{ кг}} = \frac{9240}{1050} \text{ °C} = 8.8 \text{ °C}$

Можно также решить задачу, не переводя единицы в СИ, если использовать удельную теплоемкость воды в калориях: $c = 1 \frac{\text{кал}}{\text{г} \cdot \text{°C}}$.

$\Delta t = \frac{2200 \text{ кал}}{1 \frac{\text{кал}}{\text{г} \cdot \text{°C}} \cdot 250 \text{ г}} = \frac{2200}{250} \text{ °C} = 8.8 \text{ °C}$

Результаты совпадают.

Ответ: вода нагреется на 8.8 °C.