Номер 30, страница 244 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин, Иванов

30. Две проволоки — медная и алюминиевая имеют одинаковую массу. Длина медной проволоки в 10 раз больше длины алюминиевой. Во сколько раз сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой? Плотность меди в 3,3 раза больше плотности алюминия, а удельное сопротивление в 1,65 раз меньше.

Дано:

Обозначим параметры медной проволоки индексом "м", а алюминиевой — "а".

Массы проволок равны: $m_м = m_а$.

Длина медной проволоки в 10 раз больше: $l_м = 10 \cdot l_а$.

Плотность меди в 3,3 раза больше: $\rho_{пл, м} = 3.3 \cdot \rho_{пл, а}$.

Удельное сопротивление меди в 1,65 раз меньше, значит, у алюминия больше: $\rho_{эл, а} = 1.65 \cdot \rho_{эл, м}$.

Найти:

Во сколько раз сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой, то есть найти отношение $\frac{R_м}{R_а}$.

Решение:

Сопротивление проводника определяется формулой:

$R = \rho_{эл} \frac{l}{S}$

где $\rho_{эл}$ — удельное электрическое сопротивление материала, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Запишем формулы сопротивления для медной и алюминиевой проволок:

$R_м = \rho_{эл, м} \frac{l_м}{S_м}$

$R_а = \rho_{эл, а} \frac{l_а}{S_а}$

Найдем отношение их сопротивлений:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{\rho_{эл, м} \frac{l_м}{S_м}}{\rho_{эл, а} \frac{l_а}{S_а}} = \frac{\rho_{эл, м}}{\rho_{эл, а}} \cdot \frac{l_м}{l_а} \cdot \frac{S_а}{S_м}$

Из условия задачи нам известны отношения $\frac{l_м}{l_а} = 10$ и $\frac{\rho_{эл, м}}{\rho_{эл, а}} = \frac{1}{1.65}$.

Осталось найти отношение площадей поперечных сечений $\frac{S_а}{S_м}$. Для этого воспользуемся тем, что массы проволок равны. Масса проволоки выражается через ее плотность $\rho_{пл}$ и объем $V$:

$m = \rho_{пл} \cdot V = \rho_{пл} \cdot l \cdot S$

Так как $m_м = m_а$, то:

$\rho_{пл, м} \cdot l_м \cdot S_м = \rho_{пл, а} \cdot l_а \cdot S_а$

Выразим из этого равенства искомое отношение площадей:

$\frac{S_а}{S_м} = \frac{\rho_{пл, м} \cdot l_м}{\rho_{пл, а} \cdot l_а} = \frac{\rho_{пл, м}}{\rho_{пл, а}} \cdot \frac{l_м}{l_а}$

Подставим известные из условия значения:

$\frac{S_а}{S_м} = 3.3 \cdot 10 = 33$

Теперь подставим все найденные отношения в формулу для отношения сопротивлений:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{\rho_{эл, м}}{\rho_{эл, а}} \cdot \frac{l_м}{l_а} \cdot \frac{S_а}{S_м} = \frac{1}{1.65} \cdot 10 \cdot 33$

Произведем вычисления:

$\frac{R_м}{R_а} = \frac{10 \cdot 33}{1.65} = \frac{330}{1.65} = 200$

Ответ: сопротивление медной проволоки больше сопротивления алюминиевой в 200 раз.