Страница 54 - гдз по физике 8 класс учебник Пёрышкин

1. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

1. Закон сохранения полной механической энергии формулируется так: полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы, остается неизменной (сохраняется).

Полная механическая энергия ($E$) является суммой кинетической ($E_{\text{к}}$) и потенциальной ($E_{\text{п}}$) энергий системы:

$E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}$

Согласно закону сохранения, эта сумма является постоянной величиной:

$E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \text{const}$

Рассмотрим составляющие полной механической энергии:

Кинетическая энергия ($E_{\text{к}}$) — это энергия движения. Она вычисляется по формуле:
$E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}$,
где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость.

Потенциальная энергия ($E_{\text{п}}$) — это энергия взаимодействия тел, зависящая от их взаимного расположения. Примеры:
- Потенциальная энергия тела в поле тяжести: $E_{\text{п}} = mgh$, где $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота над условным нулевым уровнем.
- Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: $E_{\text{п}} = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины, $x$ — ее деформация.

Закон выполняется при двух ключевых условиях:
1. Система тел является замкнутой (изолированной), то есть внешние силы на нее не действуют или их действие скомпенсировано.
2. Все силы, действующие между телами системы, являются консервативными (например, сила тяжести, сила упругости). Работа таких сил не зависит от траектории.

Для такой системы сумма кинетической и потенциальной энергий в любом начальном состоянии (1) равна их сумме в любом конечном состоянии (2):

$E_{\text{к1}} + E_{\text{п1}} = E_{\text{к2}} + E_{\text{п2}}$

Это означает, что энергия может переходить из кинетической формы в потенциальную и обратно, но их общая сумма остается постоянной.

Если в системе действуют неконсервативные (диссипативные) силы, например, сила трения или сила сопротивления воздуха, то полная механическая энергия системы не сохраняется. Её изменение равно работе, совершенной этими силами: $\Delta E = A_{\text{неконс}}$. Так как работа диссипативных сил отрицательна, механическая энергия системы уменьшается, переходя в другие виды энергии (в основном, во внутреннюю тепловую энергию).

Ответ: В замкнутой системе тел, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется, то есть является постоянной величиной ($E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \text{const}$).

2. Что называют полной энергией системы тел?

1. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

Закон сохранения механической энергии гласит, что полная механическая энергия замкнутой системы тел, в которой действуют только консервативные силы (например, сила тяжести или сила упругости), остается неизменной (сохраняется). Это означает, что при любых процессах, происходящих в такой системе, энергия может переходить из кинетической формы в потенциальную и обратно, но их сумма всегда будет постоянной.

Математически этот закон можно выразить формулой:

$E_{мех} = E_к + E_п = \text{const}$

где $E_{мех}$ — полная механическая энергия системы, $E_к$ — суммарная кинетическая энергия всех тел системы, а $E_п$ — суммарная потенциальная энергия их взаимодействия.

Если рассматривать два произвольных состояния системы (начальное с индексом 1 и конечное с индексом 2), закон записывается в виде равенства:

$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$

Важно отметить, что если в системе присутствуют неконсервативные силы, такие как сила трения или сопротивления воздуха, то механическая энергия не сохраняется, а ее изменение равно работе этих сил: $\Delta E_{мех} = A_{неконс}$.

Ответ: В замкнутой системе, где действуют только консервативные силы, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется.

2. Что называют полной энергией системы тел?

Полной механической энергией системы тел называют скалярную физическую величину, которая равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему, и потенциальных энергий их взаимодействия как между собой, так и с внешними консервативными полями.

• Кинетическая энергия ($E_к$) — это энергия движения. Для тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, она равна $E_к = \frac{mv^2}{2}$.
• Потенциальная энергия ($E_п$) — это энергия, обусловленная взаимным расположением тел или их частей и характером сил взаимодействия между ними. Например, потенциальная энергия тела массой $m$, поднятого на высоту $h$ над поверхностью Земли, равна $E_п = mgh$. Потенциальная энергия пружины жесткостью $k$, растянутой или сжатой на величину $x$, равна $E_п = \frac{kx^2}{2}$.

Таким образом, полная механическая энергия $E_{мех}$ системы является суммой этих двух видов энергии:

$E_{мех} = E_к + E_п$

Ответ: Полная механическая энергия системы тел — это физическая величина, равная сумме кинетических энергий движения всех тел системы и их потенциальных энергий взаимодействия.

3. Какую систему называют...

В контексте закона сохранения механической энергии, как правило, рассматривают два типа систем:

1. Консервативная система. Систему тел называют консервативной, если работа сил взаимодействия между телами этой системы зависит только от начального и конечного их положений и не зависит от траектории перемещения. В таких системах действуют только консервативные (потенциальные) силы, например, гравитационные силы или силы упругости. Силы трения и другие диссипативные силы (рассеивающие энергию) в консервативной системе отсутствуют или их действие пренебрежимо мало. Именно для консервативных систем справедлив закон сохранения механической энергии.
2. Замкнутая (или изолированная) система. Систему тел называют замкнутой, если на тела системы не действуют внешние силы, или векторная сумма всех внешних сил равна нулю. Для замкнутой системы справедлив закон сохранения импульса. Чтобы в замкнутой системе сохранялась и механическая энергия, необходимо дополнительное условие: все внутренние силы должны быть консервативными.

Ответ: Систему, в которой работа внутренних сил не зависит от пути, а определяется лишь начальным и конечным положением тел (т.е. действуют только консервативные силы), называют консервативной. Систему, на которую не действуют внешние силы, называют замкнутой.

3. Какую систему называют изолированной?

3. Какую систему называют изолированной?

Изолированной (или замкнутой) системой тел в механике называют совокупность тел, которые не взаимодействуют с другими телами, не входящими в эту систему. В такой системе на тела действуют только внутренние силы (силы взаимодействия между телами самой системы), а равнодействующая всех внешних сил равна нулю.

Понятие изолированной системы является физической моделью, то есть идеализацией. В реальных условиях абсолютно изолированных систем не существует, так как всегда есть взаимодействие с окружающей средой (например, сила тяжести со стороны Земли или сила сопротивления воздуха). Однако во многих случаях внешними воздействиями можно пренебречь, если они значительно меньше внутренних сил, действующих в системе. Например, при кратковременных процессах, таких как столкновение двух шаров или взрыв снаряда, система может считаться изолированной, так как внутренние силы взаимодействия многократно превышают внешние силы (силу тяжести и сопротивление воздуха), и за малый промежуток времени внешние силы не успевают значительно изменить импульс системы.

Ответ: Изолированная система — это система тел, на которые не действуют внешние силы, или действие этих сил скомпенсировано (их векторная сумма равна нулю).

4. В чём состоит закон сохранения энергии применительно к механическим процессам?

Закон сохранения полной механической энергии утверждает, что полная механическая энергия изолированной системы тел, в которой действуют только консервативные силы (такие как сила тяжести и сила упругости), остается постоянной.

Полная механическая энергия ($E$) системы — это сумма ее кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p$

Таким образом, если в системе происходят какие-либо процессы (тела движутся, изменяют свое положение), то кинетическая энергия может превращаться в потенциальную, и наоборот, но их сумма не изменяется:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Это можно записать как $E_1 = E_2$, или в развернутом виде:

$E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}$

где индексы 1 и 2 относятся к двум разным моментам времени.

Важным условием применимости этого закона является отсутствие в системе неконсервативных (диссипативных) сил, таких как сила трения или сила сопротивления среды. Если такие силы присутствуют и совершают работу ($A_{тр}$), то полная механическая энергия системы не сохраняется — она уменьшается, переходя во внутреннюю энергию (теплоту). В этом случае изменение полной механической энергии равно работе сил трения:

$\Delta E = E_2 - E_1 = A_{тр}$

Поскольку работа силы трения всегда отрицательна ($A_{тр} < 0$), полная механическая энергия системы убывает.

Ответ: Закон сохранения механической энергии гласит, что если в изолированной системе действуют только консервативные силы, то ее полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий) сохраняется, то есть не изменяется со временем.

4. В чём состоит закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам?

4. Закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам формулируется как первый закон (или первое начало) термодинамики. Этот закон представляет собой расширение общего закона сохранения энергии на явления, в которых учитывается изменение внутренней энергии тел.

Суть закона заключается в том, что энергия в замкнутой системе не создается и не уничтожается, а лишь переходит из одной формы в другую. В термодинамике рассматриваются три ключевые формы энергии: внутренняя энергия, теплота и работа.

Математически первый закон термодинамики чаще всего записывается в следующем виде:

$Q = \Delta U + A$

где:

$Q$ – это количество теплоты, переданное системе от внешних тел. Если система получает теплоту (нагревается), то $Q > 0$. Если система отдает теплоту (охлаждается), то $Q < 0$.

$\Delta U$ – это изменение внутренней энергии системы. Внутренняя энергия ($U$) – это сумма кинетической энергии хаотического теплового движения частиц (молекул, атомов) и потенциальной энергии их взаимодействия. Изменение внутренней энергии зависит только от начального и конечного состояний системы, но не от способа перехода между ними. Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры.

$A$ – это работа, совершаемая самой системой над внешними телами (например, работа газа при его расширении). Если система совершает работу (расширяется), то $A > 0$. Если внешние силы совершают работу над системой (сжимают ее), то работа системы считается отрицательной, $A < 0$.

Таким образом, закон можно сформулировать так: количество теплоты, сообщенное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

Альтернативная форма записи закона, которая явно показывает, как можно изменить внутреннюю энергию системы:

$\Delta U = Q - A$

Из этой формулы видно, что внутреннюю энергию можно изменить двумя способами: через теплопередачу ($Q$) или путем совершения работы ($A$).

Важным следствием первого закона термодинамики является невозможность создания вечного двигателя первого рода – гипотетического устройства, способного совершать работу бесконечно долго без получения энергии извне. Согласно закону, если не подводить к системе тепло ($Q=0$), то совершение работы ($A>0$) возможно только за счет уменьшения внутренней энергии ($\Delta U = -A$). Так как запас внутренней энергии любого тела конечен, такой двигатель рано или поздно остановится.

Ответ: Закон сохранения энергии применительно к тепловым процессам (первый закон термодинамики) гласит, что количество теплоты ($Q$), переданное термодинамической системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии ($\Delta U$) и на совершение этой системой работы ($A$) над внешними телами. Математически это выражается формулой $Q = \Delta U + A$.

1. Газ, находящийся в цилиндре под поршнем, сжимают. Подумайте, положительную или отрицательную работу совершает при этом сила, действующая на поршень со стороны газа.

Дано:

Процесс - сжатие газа в цилиндре под поршнем.

Найти:

Знак работы $A_{газа}$, совершаемой силой, действующей на поршень со стороны газа.

Решение:

Механическая работа $A$ определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{s}$ и вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$

где $F$ – модуль силы, $s$ – модуль перемещения точки приложения силы, а $\alpha$ – угол между векторами силы и перемещения.

Проанализируем направления векторов для нашего случая:

1. Направление силы. Газ, находящийся в цилиндре, давит на все стенки, включая поршень. Сила давления газа на поршень ($\vec{F}_{газа}$) всегда направлена в сторону увеличения объема, то есть наружу из цилиндра.

2. Направление перемещения. По условию задачи, газ сжимают. Это означает, что поршень движется внутрь цилиндра, уменьшая его объем. Следовательно, вектор перемещения поршня $\vec{s}$ направлен внутрь цилиндра.

Таким образом, вектор силы, с которой газ действует на поршень, $\vec{F}_{газа}$, и вектор перемещения поршня, $\vec{s}$, направлены в противоположные стороны. Угол $\alpha$ между ними равен $180^\circ$.

Косинус угла $180^\circ$ равен -1:

$\cos(180^\circ) = -1$

Подставим это значение в формулу для работы, совершаемой силой газа:

$A_{газа} = F_{газа} \cdot s \cdot \cos(180^\circ) = F_{газа} \cdot s \cdot (-1) = -F_{газа} \cdot s$

Поскольку модуль силы $F_{газа}$ и модуль перемещения $s$ являются положительными величинами, их произведение $F_{газа} \cdot s$ также положительно. Следовательно, работа $A_{газа}$ будет отрицательной.

К этому же выводу можно прийти, используя формулу для работы газа в термодинамике:

$A_{газа} = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV$

При сжатии конечный объем газа $V_2$ меньше начального $V_1$ ($V_2 < V_1$), поэтому изменение объема $\Delta V = V_2 - V_1$ отрицательно. Так как давление $p$ — величина положительная, то и работа газа при сжатии всегда отрицательна.

Ответ:сила, действующая на поршень со стороны газа, совершает отрицательную работу.

2*. Как вы думаете, будет ли количество теплоты, необходимое для нагревания до определённой температуры газа, находящегося в цилиндре под поршнем, зависеть от того, закреплён поршень или нет?

Да, количество теплоты, необходимое для нагревания газа до определённой температуры, будет зависеть от того, закреплён поршень или нет. Чтобы объяснить это, воспользуемся первым законом термодинамики.

Первый закон термодинамики утверждает, что количество теплоты $Q$, сообщённое системе (в данном случае — газу), расходуется на изменение её внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение системой работы $A$ против внешних сил:

$Q = \Delta U + A$

Рассмотрим два возможных сценария.

Случай 1: Поршень закреплён.

Когда поршень жёстко закреплён, объём газа в цилиндре не может измениться ($V = \text{const}$). Такой процесс нагревания называется изохорным. Работа, совершаемая газом, напрямую зависит от изменения объёма: $A = p\Delta V$. Поскольку изменение объёма равно нулю ($\Delta V = 0$), то и работа, совершаемая газом, также равна нулю ($A=0$).

В этом случае первый закон термодинамики для газа принимает вид:

$Q_1 = \Delta U + 0 = \Delta U$

Это означает, что вся подводимая к газу теплота $Q_1$ идёт исключительно на увеличение его внутренней энергии, что проявляется в росте температуры.

Случай 2: Поршень не закреплён (может свободно перемещаться).

Если поршень не закреплён, то при нагревании давление газа увеличится, и он начнёт расширяться, толкая поршень вверх. В процессе расширения газ совершает положительную работу ($A > 0$) против сил внешнего давления. Этот процесс, как правило, происходит при постоянном давлении (изобарный процесс), если поршень перемещается медленно.

Первый закон термодинамики для этого случая будет выглядеть так:

$Q_2 = \Delta U + A$

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ для идеального газа зависит только от изменения температуры. По условию, в обоих случаях мы нагреваем газ до одной и той же конечной температуры, значит, изменение внутренней энергии $\Delta U$ будет одинаковым в обоих сценариях.

Теперь сравним количество теплоты, необходимое в первом и втором случаях:

$Q_1 = \Delta U$

$Q_2 = \Delta U + A$

Так как во втором случае газ совершает работу ($A > 0$), очевидно, что $Q_2 > Q_1$.

Таким образом, если поршень не закреплён, для нагрева газа до той же температуры потребуется большее количество теплоты, так как часть этой теплоты будет преобразована в механическую работу, совершаемую газом при расширении.

Ответ: Да, количество теплоты будет зависеть от того, закреплён поршень или нет. Если поршень не закреплён, то для нагревания газа до той же температуры потребуется большее количество теплоты, потому что часть подводимой энергии будет расходоваться на совершение газом работы по расширению.

1. Два тела массой 1 кг каждое движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями 2 м/c, сталкиваются и останавливаются. На сколько изменилась внутренняя энергия системы тел?

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = 1 \text{ кг}$
Масса второго тела: $m_2 = 1 \text{ кг}$
Скорость первого тела до столкновения: $v_1 = 2 \text{ м/с}$
Скорость второго тела до столкновения: $v_2 = 2 \text{ м/с}$
Скорость тел после столкновения: $v' = 0 \text{ м/с}$

Найти:

Изменение внутренней энергии системы тел: $\Delta U$

Решение:

В данной задаче происходит абсолютно неупругое столкновение, так как тела после взаимодействия останавливаются. Систему из двух тел можно считать замкнутой, поскольку внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, а сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Для замкнутой системы справедлив закон сохранения энергии. До столкновения система обладала кинетической энергией, так как оба тела двигались. После столкновения тела остановились, их кинетическая энергия стала равна нулю. Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия системы полностью перешла во внутреннюю энергию (то есть пошла на нагрев тел).

Таким образом, изменение внутренней энергии системы $\Delta U$ равно суммарной кинетической энергии тел до столкновения $E_{k_{общ}}$.

$ \Delta U = E_{k_{общ}} $

Суммарная кинетическая энергия до столкновения равна сумме кинетических энергий первого и второго тела:

$ E_{k_{общ}} = E_{k1} + E_{k2} $

Кинетическая энергия каждого тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$.

$ E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} $

$ E_{k2} = \frac{m_2 v_2^2}{2} $

Поскольку массы и скорости тел одинаковы ($m_1=m_2=m=1 \text{ кг}$, $v_1=v_2=v=2 \text{ м/с}$), можно записать:

$ \Delta U = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2 $

Подставим числовые значения:

$ \Delta U = 1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2 = 1 \cdot 4 = 4 \text{ Дж} $

Ответ: внутренняя энергия системы тел увеличилась на 4 Дж.

2. Некоторому газу передали количество теплоты 200 Дж. Предоставленный сам себе, при расширении он совершил работу 250 Дж. Определите, как и на сколько изменилась внутренняя энергия газа.

Дано:

Количество теплоты, переданное газу, $Q = 200$ Дж.
Работа, совершённая газом при расширении, $A = 250$ Дж.

Найти:

Изменение внутренней энергии газа, $\Delta U$.

Решение:

Для определения изменения внутренней энергии газа воспользуемся первым законом термодинамики, который связывает количество теплоты, переданное системе ($Q$), изменение её внутренней энергии ($\Delta U$) и работу, совершённую системой ($A$):

$Q = \Delta U + A$

Из этой формулы выразим искомое изменение внутренней энергии $\Delta U$:

$\Delta U = Q - A$

Подставим в полученное выражение числовые значения из условия задачи:

$\Delta U = 200 \text{ Дж} - 250 \text{ Дж} = -50 \text{ Дж}$

Полученное значение $\Delta U$ отрицательно. Это означает, что внутренняя энергия газа уменьшилась. Величина этого уменьшения составляет 50 Дж.

Ответ: внутренняя энергия газа уменьшилась на 50 Дж.

3. Какое количество теплоты отдал газ окружающей среде, если над ним совершили работу 2 кДж? Внутренняя энергия газа при этом увеличилась на 1 кДж.

Дано:

Работа, совершённая над газом, $A' = 2$ кДж

Изменение внутренней энергии газа, $\Delta U = 1$ кДж

$A' = 2 \cdot 10^3$ Дж

$\Delta U = 1 \cdot 10^3$ Дж

Найти:

Количество теплоты, отданное газом, $Q_{отд}$

Решение:

Воспользуемся первым законом термодинамики, который связывает изменение внутренней энергии системы ($\Delta U$) с количеством теплоты, переданным системе ($Q$), и работой, совершённой над системой внешними силами ($A'$). Формулировка первого закона термодинамики в этом случае выглядит так:

$\Delta U = Q + A'$

Здесь $Q$ — это количество теплоты, которое газ получил. По условию задачи, нам нужно найти количество теплоты, которое газ отдал ($Q_{отд}$). Эти величины связаны следующим образом: $Q_{отд} = -Q$.

Из первого закона термодинамики выразим величину $Q$:

$Q = \Delta U - A'$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$Q = 1 \text{ кДж} - 2 \text{ кДж} = -1 \text{ кДж}$

Отрицательное значение $Q$ означает, что газ не получал теплоту, а отдавал её в окружающую среду. Таким образом, количество отданной теплоты $Q_{отд}$ будет положительной величиной:

$Q_{отд} = -Q = -(-1 \text{ кДж}) = 1 \text{ кДж}$

Ответ: газ отдал окружающей среде 1 кДж теплоты.

4. Тело получило количество теплоты 12 Дж. Какую работу оно совершило, если внутренняя энергия тела уменьшилась на 20 Дж?

Дано:

Количество теплоты, полученное телом, $Q = 12$ Дж
Уменьшение внутренней энергии тела на $20$ Дж, что означает $\Delta U = -20$ Дж

Найти:

Работу, совершенную телом, $A$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся первым законом термодинамики. Этот закон устанавливает связь между количеством теплоты, переданным системе ($Q$), изменением её внутренней энергии ($\Delta U$) и работой, совершённой этой системой ($A$). Формула первого закона термодинамики выглядит следующим образом:

$Q = \Delta U + A$

Из этой формулы необходимо выразить работу $A$, которую совершило тело:

$A = Q - \Delta U$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

• Тело получило количество теплоты, поэтому значение $Q$ положительное: $Q = 12$ Дж.
• Внутренняя энергия тела уменьшилась, поэтому изменение внутренней энергии $\Delta U$ является отрицательной величиной: $\Delta U = -20$ Дж.

Произведем вычисления:

$A = 12 \text{ Дж} - (-20 \text{ Дж})$

$A = 12 \text{ Дж} + 20 \text{ Дж} = 32 \text{ Дж}$

Ответ: тело совершило работу 32 Дж.