Номер 5, страница 42 - гдз по физике 8 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 2. Механические свойства жидкостей, газов и твёрдых тел. Параграф 11. Гидравлическая машина. Гидравлический пресс. Вопросы для самопроверки - номер 5, страница 42.

Условие.

5*. Может ли гидравлическая машина дать выигрыш в работе? Как это доказать?

Решение.

Решение

Гидравлическая машина, как и любой другой простой механизм (рычаг, блок и т.д.), не может дать выигрыш в работе. Это утверждение известно как «золотое правило механики» и является прямым следствием закона сохранения энергии. Гидравлическая машина позволяет получить выигрыш в силе, но этот выигрыш всегда сопровождается эквивалентным проигрышем в расстоянии.

Докажем это математически. Рассмотрим идеальную гидравлическую машину, состоящую из двух соединенных сосудов с поршнями разной площади, заполненных несжимаемой жидкостью. Обозначим:

$F_1$ и $S_1$ – сила, приложенная к малому поршню, и его площадь;

$F_2$ и $S_2$ – сила, действующая со стороны жидкости на большой поршень, и его площадь ($S_2 > S_1$);

$h_1$ и $h_2$ – перемещения малого и большого поршней соответственно.

Согласно закону Паскаля, давление, производимое на жидкость, передается в любую точку без изменений. Давление под малым поршнем $p_1$ равно давлению под большим поршнем $p_2$:

$p_1 = p_2$

Так как давление определяется формулой $p = F/S$, то:

$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$

Отсюда можно выразить силу на большом поршне, которая и показывает выигрыш в силе:

$F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$

Поскольку по условию $S_2 > S_1$, то и $F_2 > F_1$. Машина дает выигрыш в силе.

Теперь рассмотрим работу. Работа, совершаемая силой $F_1$ при перемещении малого поршня на расстояние $h_1$ (затраченная работа), равна:

$A_1 = F_1 \cdot h_1$

Работа, совершаемая большим поршнем при его перемещении на расстояние $h_2$ (полезная работа), равна:

$A_2 = F_2 \cdot h_2$

Поскольку жидкость в машине считается несжимаемой, объем жидкости $V_1$, вытесненный малым поршнем при его опускании, равен объему жидкости $V_2$, который поднял большой поршень:

$V_1 = V_2$, что эквивалентно $S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Из этого соотношения выразим перемещение большого поршня $h_2$:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Теперь подставим выражения для $F_2$ и $h_2$ в формулу для полезной работы $A_2$:

$A_2 = F_2 \cdot h_2 = (F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}) \cdot (h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2})$

Сократив дроби $\frac{S_2}{S_1}$ и $\frac{S_1}{S_2}$, получаем:

$A_2 = F_1 \cdot h_1$

Таким образом, мы доказали, что $A_2 = A_1$. Затраченная работа равна полезной работе. Следовательно, в идеальной гидравлической машине (без учета трения и веса поршней) выигрыша в работе нет.

В реальных условиях часть затраченной работы $A_1$ всегда расходуется на преодоление сил трения, поэтому полезная работа $A_2$ всегда будет меньше затраченной ($A_2 < A_1$).

Ответ: Нет, гидравлическая машина не может дать выигрыш в работе. Согласно «золотому правилу механики», выигрывая в силе, мы проигрываем в расстоянии ровно во столько же раз. Математическое доказательство показывает, что в идеальном случае работа, совершаемая приложенной силой ($A_1 = F_1 h_1$), равна работе, совершаемой машиной ($A_2 = F_2 h_2$), то есть $A_1 = A_2$. В реальных условиях из-за неизбежных потерь на трение полезная работа всегда меньше затраченной.