Вопросы, страница 13 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Какие углы называются смежными? Каким свойством они обладают?

2. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

3. Какой треугольник называется: а) равнобедренным; б) прямоугольным? Как называются их стороны?

4. Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним?

5. Что такое высота, медиана, биссектриса треугольника?

6. Может ли высота треугольника равняться его стороне?

7. Могут ли медиана, высота и биссектриса треугольника, проведенные из одной вершины, совпадать?

8. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.

9. По каким признакам можно установить, что треугольник равнобедренный?

10. По каким признакам можно установить, что два треугольника равны?

11. Перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников.

12. Чему равна сумма углов треугольника?

13. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника? Если один из них равен $a$, чему равен другой?

14. Что такое внешний угол треугольника? Каким свойством он обладает?

15. Каким свойством должны обладать три отрезка $a, b, c$, чтобы существовал треугольник, стороны которого равны этим отрезкам?

16. Какие прямые называются: а) параллельными; б) перпендикулярными?

17. Что такое накрест лежащие и односторонние углы?

18. По каким признакам можно установить, что прямые параллельны?

19. Перечислите свойства параллельных прямых.

20. Как могут быть расположены прямая и окружность?

21. Сколько общих точек имеет прямая и окружность, если радиус окружности 4 см, а расстояние от ее центра до этой прямой равно: а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см?

22. По какому признаку можно установить, что прямая является касательной к окружности?

23. Сколько касательных к окружности можно провести через точку, лежащую на ней? Ответ объясните.

24. Какими свойствами обладают две касательные к окружности, проведенные через одну точку?

25. Что такое хорда окружности? Каким свойством обладает хорда, перпендикулярная радиусу? Сформулируйте утверждение, обратное этому свойству. Верно ли оно?

26. Чем измеряются дуги окружности? Какую градусную меру имеет полуокружность?

27. Чему равна градусная мера дуги, опирающейся на хорду, равную радиусу окружности?

28. Какие две окружности называются касательными? Сколько общих касательных могут иметь такие окружности?

29. Чем является геометрическое место точек, равноудаленных от: а) данной точки; б) концов отрезка; в) сторон угла?

30. Какая точка является центром окружности: а) описанной около треугольника; б) вписанной в треугольник?

1. Какие углы называются смежными?

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными полупрямыми (лежат на одной прямой).

Ответ:

2. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством они обладают?

Вертикальные углы — это два угла, образованные при пересечении двух прямых, которые не имеют общих сторон и находятся друг напротив друга. Они обладают свойством равенства.

Ответ:

3. Какой треугольник называется: а) равнобедренным; б) прямоугольным? Как называются их стороны?

а) Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием.

б) Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$). Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Ответ:

4. Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним?

а) Да, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным. Это происходит, если его острые углы равны по $45^\circ$. В этом случае катеты будут равны.

б) Нет, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. У равностороннего треугольника все углы равны $60^\circ$, а у прямоугольного треугольника один угол равен $90^\circ$.

Ответ:

5. Что такое высота, медиана, биссектриса треугольника?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение).

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Ответ:

6. Может ли высота треугольника равняться его стороне?

Да, может. В прямоугольном треугольнике каждый из катетов является высотой, опущенной на другой катет.

Ответ:

7. Могут ли медиана, высота и биссектриса треугольника, проведенные из одной вершины, совпадать?

Да, могут. В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают. В равностороннем треугольнике они совпадают для любой вершины.

Ответ:

8. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равны.

2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

3. Высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

4. Биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

5. Медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.

Ответ:

9. По каким признакам можно установить, что треугольник равнобедренный?

Признаки равнобедренного треугольника:

1. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

2. Если в треугольнике высота является также медианой, или биссектрисой, или медиана является также биссектрисой (проведенные из одной вершины), то этот треугольник равнобедренный.

Ответ:

10. По каким признакам можно установить, что два треугольника равны?

Признаки равенства треугольников:

1. По двум сторонам и углу между ними: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

2. По стороне и двум прилежащим к ней углам: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

3. По трем сторонам: если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника.

Ответ:

11. Перечислите признаки равенства прямоугольных треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого.

2. По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.

3. По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого.

4. По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.

5. По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

Ответ:

12. Чему равна сумма углов треугольника?

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Ответ:

13. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника? Если один из них равен $\alpha$, чему равен другой?

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Если один из них равен $\alpha$, то другой равен $90^\circ - \alpha$.

Ответ:

14. Что такое внешний угол треугольника? Каким свойством он обладает?

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Он обладает свойством, что равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Ответ:

15. Каким свойством должны обладать три отрезка $a$, $b$, $c$, чтобы существовал треугольник, стороны которого равны этим отрезкам?

Для того чтобы из трех отрезков $a$, $b$, $c$ можно было составить треугольник, должна выполняться теорема о неравенстве треугольника: сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. То есть, $a+b > c$, $a+c > b$, $b+c > a$.

Ответ:

16. Какие прямые называются: а) параллельными; б) перпендикулярными?

а) Параллельными называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

б) Перпендикулярными называются прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

Ответ:

17. Что такое накрест лежащие и односторонние углы?

Накрест лежащие углы — это углы, расположенные по разные стороны от секущей между параллельными прямыми. Они равны.

Односторонние углы — это углы, расположенные по одну сторону от секущей между параллельными прямыми. Их сумма равна $180^\circ$.

Ответ:

18. По каким признакам можно установить, что прямые параллельны?

Признаки параллельности прямых:

1. Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны.

2. Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, равны.

3. Если сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых секущей, равна $180^\circ$.

4. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой.

Ответ:

19. Перечислите свойства параллельных прямых.

Свойства параллельных прямых (если две параллельные прямые пересечены секущей):

1. Накрест лежащие углы равны.

2. Соответственные углы равны.

3. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Ответ:

20. Как могут быть расположены прямая и окружность?

Прямая и окружность могут быть расположены относительно друг друга тремя способами:

1. Прямая не имеет общих точек с окружностью (расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > R$).

2. Прямая касается окружности (имеет одну общую точку; расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$).

3. Прямая пересекает окружность (имеет две общие точки; расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < R$).

Ответ:

21. Сколько общих точек имеет прямая и окружность, если радиус окружности 4 см, а расстояние от ее центра до этой прямой равно: а) 3 см; б) 4 см; в) 5 см?

Дано:

Радиус окружности $R = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

Не требуется, единицы уже в сантиметрах, что удобно для сравнения.

Найти:

Количество общих точек в случаях: а) $d = 3 \text{ см}$; б) $d = 4 \text{ см}$; в) $d = 5 \text{ см}$.

Решение:

Сравним расстояние $d$ от центра окружности до прямой с радиусом $R$:

а) Если $d = 3 \text{ см}$, то $d < R$ ($3 < 4$). В этом случае прямая пересекает окружность.

б) Если $d = 4 \text{ см}$, то $d = R$ ($4 = 4$). В этом случае прямая касается окружности.

в) Если $d = 5 \text{ см}$, то $d > R$ ($5 > 4$). В этом случае прямая не пересекает окружность.

Ответ:

а) 2 общие точки.

б) 1 общая точка.

в) 0 общих точек.

22. По какому признаку можно установить, что прямая является касательной к окружности?

Прямая является касательной к окружности, если она имеет с окружностью только одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку касания.

Ответ:

23. Сколько касательных к окружности можно провести через точку, лежащую на ней? Ответ объясните.

Через точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную. Это объясняется тем, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, а через данную точку на прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую.

Ответ:

24. Какими свойствами обладают две касательные к окружности, проведенные через одну точку?

Если из одной точки вне окружности проведены две касательные к этой окружности, то:

1. Отрезки касательных от данной точки до точек касания равны.

2. Прямая, проходящая через данную точку и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного этими касательными.

3. Прямая, проходящая через данную точку и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного радиусами, проведенными в точки касания.

Ответ:

25. Что такое хорда окружности? Каким свойством обладает хорда, перпендикулярная радиусу? Сформулируйте утверждение, обратное этому свойству. Верно ли оно?

Хорда окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Свойство хорды, перпендикулярной радиусу: радиус (или диаметр), перпендикулярный хорде, делит её пополам и делит пополам дугу, стягиваемую этой хордой.

Утверждение, обратное этому свойству: если радиус (или диаметр) делит хорду (не являющуюся диаметром) пополам, то он перпендикулярен этой хорде. Да, это утверждение верно.

Ответ:

26. Чем измеряются дуги окружности? Какую градусную меру имеет полуокружность?

Дуги окружности измеряются в градусах или радианах. Полуокружность имеет градусную меру $180^\circ$.

Ответ:

27. Чему равна градусная мера дуги, опирающейся на хорду, равную радиусу окружности?

Дано:

Хорда $L = R$, где $R$ — радиус окружности.

Перевод в СИ:

Не требуется.

Найти:

Градусная мера дуги, опирающейся на хорду.

Решение:

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Так как хорда равна радиусу, то все три стороны этого треугольника равны $R$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Угол, образованный двумя радиусами в центре окружности (центральный угол), опирается на данную дугу. Мера центрального угла равна мере дуги, на которую он опирается.

Таким образом, градусная мера дуги равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

28. Какие две окружности называются касательными? Сколько общих касательных могут иметь такие окружности?

Две окружности называются касательными, если они имеют только одну общую точку.

Они могут иметь:

1. Три общие касательные, если они касаются внешним образом (две внешние и одна внутренняя).

2. Одну общую касательную, если они касаются внутренним образом.

Ответ:

29. Чем является геометрическое место точек, равноудаленных от: а) данной точки; б) концов отрезка; в) сторон угла?

а) От данной точки: окружность с центром в этой точке.

б) От концов отрезка: серединный перпендикуляр к этому отрезку.

в) От сторон угла: биссектриса этого угла.

Ответ:

30. Какая точка является центром окружности: а) описанной около треугольника; б) вписанной в треугольник?

а) Центром окружности, описанной около треугольника (околоокружности), является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

б) Центром окружности, вписанной в треугольник (вписанной окружности), является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Ответ: