Номер 5, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

5. Через точку пересечения биссектрис $\triangle MNK$ проведена прямая, параллельная стороне $MK$ и пересекающая сторону $MN$ в точке $A$, а сторону $NK$ в точке $B$. Докажите, что $AB = MA + KB$.

Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ΔMNK$. По условию задачи, через эту точку проведена прямая, параллельная стороне $MK$. Эта прямая пересекает сторону $MN$ в точке $A$ и сторону $NK$ в точке $B$. Таким образом, точка $I$ лежит на отрезке $AB$, и прямая $AB$ параллельна прямой $MK$ ($AB || MK$).

Рассмотрим треугольник $ΔMAI$. Поскольку $I$ — точка пересечения биссектрис (инцентр), отрезок $MI$ является биссектрисой угла $∠NMK$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, следовательно $∠AMI = ∠IMK$.

Так как прямые $AB$ и $MK$ параллельны, а $MI$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠MIA$ и $∠IMK$ равны: $∠MIA = ∠IMK$.

Из двух полученных равенств ($∠AMI = ∠IMK$ и $∠MIA = ∠IMK$) следует, что $∠AMI = ∠MIA$. Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ΔMAI$ — равнобедренный с основанием $MI$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, значит, $MA = AI$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔKBI$. Аналогично, отрезок $KI$ является биссектрисой угла $∠NKM$, поэтому $∠BKI = ∠IKM$.

Так как $AB || MK$, а $KI$ является секущей, то накрест лежащие углы $∠KIB$ и $∠IKM$ равны: $∠KIB = ∠IKM$.

Следовательно, $∠BKI = ∠KIB$. Это означает, что треугольник $ΔKBI$ также является равнобедренным с основанием $KI$. Его боковые стороны равны, то есть $KB = BI$.

Точка $I$ лежит на отрезке $AB$, поэтому длина отрезка $AB$ равна сумме длин отрезков $AI$ и $IB$: $AB = AI + IB$.

Заменим в этом равенстве отрезок $AI$ на равный ему отрезок $MA$ и отрезок $IB$ на равный ему отрезок $KB$. Получим:$AB = MA + KB$.

Таким образом, требуемое равенство доказано.

Ответ: Равенство $AB = MA + KB$ доказано.