Номер 2, страница 14 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

2. Углы $ABD$ и $DBC$ – смежные, луч $BM$ – биссектриса угла $ABD$, причем $\angle ABM$ на $30^\circ$ меньше $\angle DBC$. Найдите $\angle ABD$.

По условию задачи, углы $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $ являются смежными. Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма равна $ 180^\circ $. Таким образом, мы можем записать равенство:
$ \angle ABD + \angle DBC = 180^\circ $

Известно, что луч $ BM $ является биссектрисой угла $ \angle ABD $. Это означает, что он делит угол $ \angle ABD $ на два равных угла, $ \angle ABM $ и $ \angle MBD $. Следовательно, величина угла $ \angle ABD $ в два раза больше величины угла $ \angle ABM $:
$ \angle ABD = 2 \cdot \angle ABM $

В задаче дано соотношение: угол $ \angle ABM $ на $ 30^\circ $ меньше угла $ \angle DBC $. Запишем это в виде формулы:
$ \angle ABM = \angle DBC - 30^\circ $
Из этого соотношения можно выразить $ \angle DBC $ через $ \angle ABM $:
$ \angle DBC = \angle ABM + 30^\circ $

Теперь подставим полученные выражения для $ \angle ABD $ и $ \angle DBC $ в уравнение для смежных углов:
$ (2 \cdot \angle ABM) + (\angle ABM + 30^\circ) = 180^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $ \angle ABM $:
$ 3 \cdot \angle ABM + 30^\circ = 180^\circ $
$ 3 \cdot \angle ABM = 180^\circ - 30^\circ $
$ 3 \cdot \angle ABM = 150^\circ $
$ \angle ABM = \frac{150^\circ}{3} $
$ \angle ABM = 50^\circ $

Мы нашли величину угла $ \angle ABM $. Теперь можем найти искомую величину угла $ \angle ABD $, используя формулу из второго шага:
$ \angle ABD = 2 \cdot \angle ABM $
$ \angle ABD = 2 \cdot 50^\circ $
$ \angle ABD = 100^\circ $

Ответ: $ \angle ABD = 100^\circ $.