Номер 12, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

12. В треугольнике $ABC$ $\angle A = \angle B$, а высота $AM$ делит сторону $BC$ пополам. Найдите $AB$, если $CM = 3,5$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, отрезок $AM$ является высотой к стороне $BC$, что означает $AM \perp BC$ и $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$. Также $AM$ делит сторону $BC$ пополам, то есть $AM$ является и медианой, а точка $M$ — середина отрезка $BC$, откуда $BM = CM$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$. У них:

1. Сторона $AM$ — общая.

2. $BM = CM$ (так как $AM$ — медиана).

3. $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ (так как $AM$ — высота).

Следовательно, $\triangle AMB = \triangle AMC$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Кроме того, по условию в треугольнике $ABC$ равны углы: $\angle A = \angle B$. В любом треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Напротив угла $\angle B$ лежит сторона $AC$, а напротив угла $\angle A$ лежит сторона $BC$. Следовательно, из равенства углов $\angle A = \angle B$ следует равенство сторон $AC = BC$.

Объединим полученные результаты: у нас есть $AB = AC$ и $AC = BC$. Отсюда следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = BC = AC$. Таким образом, треугольник $ABC$ является равносторонним.

Найдем длину стороны $BC$. Поскольку $M$ — середина $BC$, то $BC = BM + CM$. Так как $BM = CM$, то $BC = 2 \cdot CM$. По условию, $CM = 3,5$ см. Тогда $BC = 2 \cdot 3,5 = 7$ см.

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то все его стороны равны длине стороны $BC$. Следовательно, $AB = BC = 7$ см.

Ответ: 7 см.