Номер 17, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

17. Салтанат получила задание разделить данный угол $A$ пополам. Она выполнила его так. Отложила на одной стороне угла отрезки $AB$ и $AD$ ($AD > AB$), а на другой стороне – соответственно равные им отрезки $AC$ и $AK$. Построила отрезки $BK$ и $DC$, отметила точку $O$ их пересечения и провела луч $AO$. Является ли этот луч искомым?

Да, луч $AO$ является искомым, то есть биссектрисой угла $A$. Чтобы убедиться в этом, необходимо доказать, что луч $AO$ делит угол $A$ на два равных угла, то есть $∠BAO = ∠CAO$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $△ADC$ и $△AKB$.

- $AD = AK$ (по условию).

- $AC = AB$ (по условию).

- Угол $∠A$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, $△ADC = △AKB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Из равенства треугольников $△ADC$ и $△AKB$ следует равенство их соответствующих углов и сторон:

- $∠ADC = ∠AKB$

- $∠ACD = ∠ABK$

- $DC = KB$

3. Рассмотрим треугольники $△ABO$ и $△ACO$.

- $AB = AC$ (по условию).

- $AO$ — общая сторона.

Чтобы доказать равенство этих треугольников, нам нужно найти еще один равный элемент. Докажем, что $BO = CO$.

4. Рассмотрим треугольник $△BOC$. Углы $∠OBC$ и $∠OCB$ этого треугольника являются теми же углами, что и $∠ABK$ и $∠ACD$ соответственно, так как точка $O$ лежит на отрезках $BK$ и $DC$.

Из пункта 2 мы знаем, что $∠ABK = ∠ACD$. Следовательно, $∠OBC = ∠OCB$.

Поскольку в треугольнике $△BOC$ два угла равны, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $BO = CO$.

5. Теперь вернемся к треугольникам $△ABO$ и $△ACO$. Мы установили, что:

- $AB = AC$ (по условию).

- $BO = CO$ (доказано в п. 4).

- $AO$ — общая сторона.

Следовательно, $△ABO = △ACO$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

6. Из равенства треугольников $△ABO$ и $△ACO$ следует равенство их соответствующих углов, а именно $∠BAO = ∠CAO$.

Это доказывает, что луч $AO$ является биссектрисой угла $A$.

Ответ: Да, луч AO является искомым. Он делит угол A пополам.