Номер 21, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

21. Из точки A, удаленной от прямой b на расстояние 7 см, проведены к ней перпендикуляр AB и наклонная AC (B и C принадлежат прямой b). Найдите BC, если $ \angle CAB = 45^\circ $.

По условию, из точки A к прямой b проведен перпендикуляр AB. Расстояние от точки A до прямой b равно длине этого перпендикуляра, следовательно, $AB = 7$ см. Поскольку AB — перпендикуляр к прямой b, на которой лежат точки B и C, то треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине B, то есть $\angle ABC = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике ABC нам известны длина катета $AB = 7$ см и величина острого угла $\angle CAB = 45^\circ$. Необходимо найти длину второго катета BC.

Найдем третий угол треугольника, зная, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle ACB = 180^\circ - \angle ABC - \angle CAB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике ABC два угла равны ($\angle CAB = \angle ACB = 45^\circ$), то он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае катет BC лежит напротив угла $\angle CAB$, а катет AB — напротив угла $\angle ACB$. Следовательно, их длины равны: $BC = AB$.

Так как $AB = 7$ см, то и $BC = 7$ см. Этот же результат можно получить, используя определение тангенса в прямоугольном треугольнике: $\tan(\angle CAB) = \frac{BC}{AB}$, откуда $\tan(45^\circ) = \frac{BC}{7}$. Поскольку $\tan(45^\circ)=1$, получаем $1 = \frac{BC}{7}$, что дает $BC=7$ см.
Ответ: 7 см.