Номер 20, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

20. В равнобедренном треугольнике один из углов $120^\circ$, а его основание равно 16 см. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины его острого угла.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если предположить, что заданный угол в $120^\circ$ является углом при основании, то сумма двух таких углов составит $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$ и, следовательно, невозможно в треугольнике. Значит, угол в $120^\circ$ — это угол при вершине, противолежащей основанию. Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ основание $AC = 16$ см, а угол при вершине $\angle B = 120^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем величину равных углов при основании $\angle A$ и $\angle C$:$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.Эти углы являются острыми, как и требуется в условии задачи.

Необходимо найти высоту, проведенную из вершины острого угла. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Так как угол $\angle A$ является острым ($30^\circ$), основание высоты $H$ будет лежать на отрезке $AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике:- $\angle AHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота.- Сторона $AC$ является гипотенузой, так как лежит напротив прямого угла. По условию, ее длина $AC = 16$ см.- Угол $\angle HAC$ — это угол $\angle A$ исходного треугольника, то есть $\angle HAC = 30^\circ$.- Искомая высота $CH$ является катетом, противолежащим углу $\angle HAC$.

В прямоугольном треугольнике для нахождения катета, противолежащего известному углу, можно использовать синус этого угла:$\sin(\angle HAC) = \frac{CH}{AC}$

Подставив известные значения, получим:$\sin(30^\circ) = \frac{CH}{16}$

Зная, что значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, выразим высоту $CH$:$CH = 16 \cdot \sin(30^\circ) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.