Номер 18, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

18.

a) Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них на 50 % больше второго.

б) В прямоугольном треугольнике ABC, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $AB = 18 \text{ см}$. Найдите $AC$.

а) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Так как один из углов в прямоугольном треугольнике равен $90^\circ$, то сумма двух острых углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть величина одного острого угла равна $x$. По условию, второй острый угол на $50\%$ больше первого. Это значит, что он равен $x + 0.5x = 1.5x$.

Составим уравнение, зная, что сумма этих двух углов равна $90^\circ$:

$x + 1.5x = 90$

$2.5x = 90$

$x = \frac{90}{2.5}$

$x = 36^\circ$

Это первый острый угол. Теперь найдем второй:

$1.5 \cdot 36 = 54^\circ$

Проверим: $36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$.

Ответ: острые углы прямоугольного треугольника равны $36^\circ$ и $54^\circ$.

б) Дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, а гипотенуза $AB = 18$ см. Требуется найти катет $AC$.

Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

Следовательно, длина катета $AC$ будет равна половине длины гипотенузы $AB$:

$AC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Другой способ решения — использование синуса угла $B$:

$\sin(\angle B) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

$AC = AB \cdot \sin(\angle B) = 18 \cdot \sin(30^\circ)$

Поскольку $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AC = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: $AC = 9$ см.