Номер 25, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

25. Докажите, что радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, вычисляется по формуле: $r=\frac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ его катеты, $c$ – гипотенуза.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Пусть вершина прямого угла будет $C$, тогда катеты $AC=b$ и $BC=a$. Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Обозначим точки касания окружности со сторонами $AC$, $BC$ и $AB$ как $M$, $K$ и $N$ соответственно. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AC$ и $OK \perp BC$.

Рассмотрим четырехугольник $CMOK$. В нем $\angle C = 90^\circ$ (по условию), $\angle OMC = 90^\circ$ и $\angle OKC = 90^\circ$ (так как радиусы перпендикулярны касательным). Значит, $CMOK$ — прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $OM$ и $OK$ равны радиусу $r$, то $CMOK$ — это квадрат. Отсюда следует, что $CM = CK = r$.

По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Поэтому:

$AM = AN$

$BK = BN$

Теперь выразим длины этих отрезков. Катет $b = AC = AM + CM$. Так как $CM = r$, то $AM = b - r$. Аналогично, катет $a = BC = BK + CK$. Так как $CK = r$, то $BK = a - r$.

Так как $AN = AM$ и $BN = BK$, то мы имеем $AN = b - r$ и $BN = a - r$.

Гипотенуза $c = AB$ равна сумме отрезков $AN$ и $BN$:

$c = AN + BN = (b - r) + (a - r)$

Упростим полученное равенство:

$c = a + b - 2r$

Выразим из этого уравнения $r$:

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Таким образом, требуемая формула доказана.

Ответ: $r = \frac{a+b-c}{2}$