Номер 30, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

30. Докажите, что если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она принадлежит биссектрисе этого угла. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Эта задача состоит из двух частей: доказательства прямого и обратного утверждений, которые вместе описывают свойство биссектрисы угла как геометрического места точек.

1. Доказательство: если точка лежит внутри угла и равноудалена от его сторон, то она принадлежит биссектрисе этого угла.

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$. Пусть точка $M$ лежит внутри этого угла. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MK$ и $MP$ на стороны угла.

Дано:
- Точка $M$ внутри $\angle A$.
- $MK \perp$ стороне $AK$.
- $MP \perp$ стороне $AP$.
- Точка $M$ равноудалена от сторон, то есть $MK = MP$.

Доказать:
- Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$.

Доказательство:
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ (они прямоугольные, так как $MK$ и $MP$ — перпендикуляры). В этих треугольниках: - гипотенуза $AM$ является общей; - катеты $MK$ и $MP$ равны по условию ($MK = MP$). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle MAK = \angle MAP$. А это означает, что луч $AM$ делит угол $\angle A$ на два равных угла, то есть луч $AM$ является биссектрисой этого угла. Таким образом, точка $M$ принадлежит биссектрисе угла, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2. Формулировка и доказательство обратного утверждения.

Формулировка обратного утверждения:
Если точка, лежащая внутри угла, принадлежит его биссектрисе, то она равноудалена от сторон этого угла.

Дано:
- Точка $M$ лежит на биссектрисе $AM$ угла $\angle A$.
- $MK \perp$ стороне $AK$.
- $MP \perp$ стороне $AP$.

Доказать:
- Точка $M$ равноудалена от сторон угла, то есть $MK = MP$.

Доказательство:
Поскольку точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$, то луч $AM$ делит угол на два равных угла: $\angle MAK = \angle MAP$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$. В этих треугольниках: - гипотенуза $AM$ является общей; - острые углы $\angle MAK$ и $\angle MAP$ равны по условию (так как $AM$ — биссектриса). Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle AMP$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $MK = MP$. Это означает, что расстояния от точки $M$ до сторон угла равны, то есть точка $M$ равноудалена от сторон угла, что и требовалось доказать.

Ответ: Обратное утверждение сформулировано и доказано.