Номер 33, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

33. a) Найдите угол между хордой $AB$ и диаметром $AC$, если эта хорда стягивает дугу в $62^{\circ}$.

б) Две точки окружности разделили ее на две дуги. Найдите их градусные меры, если угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен $110^{\circ}$.

а) Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности, где $AC$ — диаметр, а $AB$ — хорда. Угол, который необходимо найти, — это угол $\angle BAC$.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AC$ является диаметром, то вписанный угол $\angle ABC$, который опирается на дугу $AC$ (полуокружность), является прямым. Следовательно, $\angle ABC = 90^{\circ}$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный.
По условию, хорда $AB$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $62^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на эту дугу. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 62^{\circ} = 31^{\circ}$.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому $\angle BAC + \angle ACB = 90^{\circ}$.
Выразим искомый угол $\angle BAC$:
$\angle BAC = 90^{\circ} - \angle ACB = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}$.
Ответ: $59^{\circ}$.

б) Пусть две точки на окружности делят ее на две дуги. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, является центральным углом. По условию, его величина составляет $110^{\circ}$.
Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, одна из дуг (меньшая) имеет градусную меру $110^{\circ}$.
Полная окружность составляет $360^{\circ}$. Так как две дуги вместе образуют всю окружность, сумма их градусных мер равна $360^{\circ}$.
Чтобы найти градусную меру второй (большей) дуги, необходимо из полной меры окружности вычесть меру первой дуги:
$360^{\circ} - 110^{\circ} = 250^{\circ}$.
Таким образом, градусные меры двух дуг равны $110^{\circ}$ и $250^{\circ}$.
Ответ: $110^{\circ}$ и $250^{\circ}$.