Номер 39, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

39. На рисунке 21 $AB = CD$, $AC = BD$. Докажите, что:

а) треугольники $AOD$ и $BOC$ имеют соответственно равные углы;

б) $BC \parallel AD$.

Рисунок 21

а)

Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△DCA$. По условию задачи $AB = CD$ и $BD = AC$. Сторона $AD$ у них общая. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $△ABD \cong △DCA$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $∠CAD = ∠BDA$.

Аналогично рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△DCB$. По условию $AB = DC$ и $AC = DB$. Сторона $BC$ у них общая. Следовательно, по третьему признаку, $△ABC \cong △DCB$. Из этого следует равенство углов $∠BCA = ∠CBD$.

Теперь сравним треугольники $△AOD$ и $△BOC$.Во-первых, $∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные углы.Во-вторых, из равенства $∠CAD = ∠BDA$ (углы $∠OAD$ и $∠ODA$ в $△AOD$) следует, что треугольник $AOD$ является равнобедренным.Аналогично, из равенства $∠BCA = ∠CBD$ (углы $∠OCB$ и $∠OBC$ в $△BOC$) следует, что треугольник $BOC$ является равнобедренным.Поскольку $∠AOD = ∠BOC$, а оба треугольника равнобедренные, их углы при основании также должны быть равны. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, значит угол при основании $△AOD$ равен $(180° - ∠AOD)/2$, а угол при основании $△BOC$ равен $(180° - ∠BOC)/2$. Отсюда $∠OAD = ∠OBC$.Так как в равнобедренном треугольнике $AOD$ углы при основании равны ($∠OAD = ∠ODA$), а в равнобедренном треугольнике $BOC$ углы при основании равны ($∠OBC = ∠OCB$), то из равенства $∠OAD = ∠OBC$ вытекает, что $∠ODA = ∠OCB$.Таким образом, углы треугольников $AOD$ и $BOC$ соответственно равны: $∠AOD = ∠BOC$, $∠OAD = ∠OBC$, $∠ODA = ∠OCB$.

Ответ: Доказано, что треугольники $AOD$ и $BOC$ имеют соответственно равные углы.

б)

Для доказательства параллельности прямых $BC$ и $AD$ рассмотрим их и секущую $AC$. Углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими. Если мы докажем их равенство, то по признаку параллельности прямых $BC \parallel AD$.

В ходе доказательства пункта а) были установлены следующие равенства углов:1. $∠BCA = ∠CBD$ (из $△ABC \cong △DCB$).2. $∠OAD = ∠OBC$, что эквивалентно $∠CAD = ∠CBD$.Из этих двух равенств следует, что $∠BCA = ∠CAD$.

Так как накрест лежащие углы $∠BCA$ и $∠CAD$ при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$ равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

Ответ: Доказано, что $BC \parallel AD$.