Номер 42, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

42. а) Докажите, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

б) Могут ли быть все углы выпуклого четырехугольника тупыми? Ответ объясните.

в) Верно ли утверждение: 1) сумма углов выпуклого многоугольника не зависит от числа его сторон; 2) сумма углов выпуклого пятиугольника равна $720^\circ$?

г) На сколько градусов увеличится сумма углов выпуклого многоугольника, если число его сторон увеличить на: 1) 3; 2) 8?

д) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна: 1) $900^\circ$; 2) $5400^\circ$?

а)

Рассмотрим произвольный выпуклый четырехугольник, например, ABCD. Проведем в нем диагональ, соединяющую две противоположные вершины, например, AC. Эта диагональ разделит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Следовательно, для $\triangle ABC$ сумма углов равна $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Для $\triangle ADC$ сумма углов равна $\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$.

Сумма углов четырехугольника ABCD складывается из сумм углов этих двух треугольников. Углы четырехугольника выражаются через углы треугольников следующим образом:

$\angle A = \angle BAC + \angle CAD$

$\angle B = \angle ABC$

$\angle C = \angle BCA + \angle ACD$

$\angle D = \angle ADC$

Сложив все углы, получим:

Сумма углов = $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = (\angle BAC + \angle CAD) + \angle ABC + (\angle BCA + \angle ACD) + \angle ADC$

Сгруппируем слагаемые по треугольникам:

Сумма углов = $(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA) + (\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD) = 180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Таким образом, сумма углов выпуклого четырехугольника всегда равна $360^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано, сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$.

б)

Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$.

Предположим, что все четыре угла выпуклого четырехугольника являются тупыми. Обозначим их $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$. Тогда $\alpha_1 > 90^\circ, \alpha_2 > 90^\circ, \alpha_3 > 90^\circ, \alpha_4 > 90^\circ$.

Если мы сложим эти углы, их сумма будет строго больше, чем сумма четырех прямых углов:

$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Однако, как было доказано в пункте а), сумма углов выпуклого четырехугольника равна ровно $360^\circ$.

Мы получили противоречие: сумма углов не может быть одновременно равна $360^\circ$ и строго больше $360^\circ$. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не могут, так как в этом случае их сумма была бы больше $360^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов четырехугольника.

в)

Воспользуемся формулой для суммы внутренних углов выпуклого n-угольника: $S_n = (n-2) \times 180^\circ$, где $n$ — это число сторон многоугольника.

1) Утверждение: "сумма углов выпуклого многоугольника не зависит от числа его сторон". Из формулы $S_n = (n-2) \times 180^\circ$ видно, что сумма углов $S_n$ прямо зависит от числа сторон $n$. Чем больше сторон, тем больше сумма углов. Например, для треугольника ($n=3$) сумма углов $180^\circ$, а для четырехугольника ($n=4$) — $360^\circ$. Следовательно, утверждение неверно.

2) Утверждение: "сумма углов выпуклого пятиугольника равна $720^\circ$". Для пятиугольника число сторон $n=5$. Найдем сумму его углов по формуле: $S_5 = (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$. Утверждение, что сумма равна $720^\circ$, неверно. Сумма в $720^\circ$ соответствует шестиугольнику ($n=6$).

Ответ: 1) неверно; 2) неверно.

г)

Сумма углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами равна $S_n = (n-2) \times 180^\circ$.

Если число сторон увеличить на $k$, то новый многоугольник будет иметь $n+k$ сторон, а сумма его углов станет равной $S_{n+k} = ((n+k)-2) \times 180^\circ$.

Разница в сумме углов составит:

$\Delta S = S_{n+k} - S_n = ((n+k)-2) \times 180^\circ - (n-2) \times 180^\circ = (n+k-2 - (n-2)) \times 180^\circ = (n+k-2-n+2) \times 180^\circ = k \times 180^\circ$.

Это означает, что при добавлении каждой новой стороны сумма углов увеличивается на $180^\circ$.

1) Если число сторон увеличить на 3, то сумма углов увеличится на $3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

2) Если число сторон увеличить на 8, то сумма углов увеличится на $8 \times 180^\circ = 1440^\circ$.

Ответ: 1) на $540^\circ$; 2) на $1440^\circ$.

д)

Для нахождения числа сторон $n$ выпуклого многоугольника, зная сумму его углов $S_n$, воспользуемся формулой $S_n = (n-2) \times 180^\circ$. Выразим из нее $n$:

$\frac{S_n}{180^\circ} = n-2$

$n = \frac{S_n}{180^\circ} + 2$

1) Если сумма углов равна $900^\circ$:

$n = \frac{900^\circ}{180^\circ} + 2 = 5 + 2 = 7$.

2) Если сумма углов равна $5400^\circ$:

$n = \frac{5400^\circ}{180^\circ} + 2 = 30 + 2 = 32$.

Ответ: 1) 7 сторон; 2) 32 стороны.