Номер 47, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

47. a) Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 23 см, а одна его сторона больше каждой из других соответственно на 2 см, 3 см, 4 см.

б) В четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, $\angle B = \angle D = 90^\circ$. Найдите $\angle C$ и длины сторон $CB$ и $CD$, если:

1) $\angle A = 60^\circ, AC = 16$ см;

2) $\angle BAC = 45^\circ, AB = 5$ см.

a)

Пусть стороны четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. Пусть $a$ — наибольшая сторона. Согласно условию задачи, она больше каждой из других сторон на 2 см, 3 см и 4 см соответственно. Выразим остальные стороны через $a$:
$b = a - 2$ см
$c = a - 3$ см
$d = a - 4$ см

Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + b + c + d$. По условию, периметр равен 23 см. Подставим выражения для сторон в формулу периметра и решим уравнение:

$a + (a - 2) + (a - 3) + (a - 4) = 23$

$4a - 9 = 23$

$4a = 32$

$a = \frac{32}{4} = 8$ см.

Теперь найдем длины остальных сторон:

$b = 8 - 2 = 6$ см.

$c = 8 - 3 = 5$ см.

$d = 8 - 4 = 4$ см.

Проверка: $8 + 6 + 5 + 4 = 23$ см.

Ответ: стороны четырехугольника равны 4 см, 5 см, 6 см и 8 см.

б)

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию $\angle B = \angle D = 90^\circ$, значит, оба треугольника являются прямоугольными. Также по условию диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам, то есть является его биссектрисой. Это означает, что $\angle BAC = \angle DAC$. Сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

1. $AC$ — общая гипотенуза.
2. $\angle BAC = \angle DAC$ — по условию.

Отсюда следует, что $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $CB = CD$ и $\angle BCA = \angle DCA$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Тогда $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$. Подставив известные значения, получим: $\angle A + 90^\circ + \angle C + 90^\circ = 360^\circ$, откуда следует, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

1)

Дано: $\angle A = 60^\circ, AC = 16$ см.

Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем стороны $CB$ и $CD$. Так как $CB = CD$, достаточно найти одну из них. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$. Угол $\angle BAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$. Катет $CB$ лежит напротив угла в $30^\circ$, следовательно, он равен половине гипотенузы $AC$:
$CB = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Следовательно, $CD = CB = 8$ см.

Ответ: $\angle C = 120^\circ$, $CB = 8$ см, $CD = 8$ см.

2)

Дано: $\angle BAC = 45^\circ, AB = 5$ см.

Найдем угол $\angle A$. Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle A = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Найдем стороны $CB$ и $CD$. Как мы установили, $CB = CD$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ABC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCA = 90^\circ - \angle BAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным, и его катеты равны: $CB = AB$. По условию $AB = 5$ см, значит $CB = 5$ см.

Следовательно, $CD = CB = 5$ см.

Ответ: $\angle C = 90^\circ$, $CB = 5$ см, $CD = 5$ см.