Номер 45, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

45. а) Докажите, что в выпуклом четырехугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин остальных его сторон.

б) Существует ли четырехугольник со сторонами, равными: 1) 5 см, 7 см, 8 см и 20 см; 2) 3 дм, 4 дм, 5 дм и 10 дм; 3) 6 м, 8 м, 20 м и 20 дм? Ответ объясните.

в) Существует ли пятиугольник, стороны которого пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3, 4, 5; 2) 3, 4, 7, 10, 24?

а)Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и $DA=d$. Требуется доказать, что любая сторона меньше суммы трех других. Докажем это для стороны $a$. Проведем в четырехугольнике диагональ $AC$. Она разбивает четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.
Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника: любая сторона меньше суммы двух других.
Применим неравенство треугольника к $\triangle ADC$:
$AC < AD + DC$ или $AC < d + c$.
Применим неравенство треугольника к $\triangle ABC$:
$AB < BC + AC$ или $a < b + AC$.
Теперь подставим первое неравенство во второе:
$a < b + (d + c)$, что равносильно $a < b + c + d$.
Аналогично, проводя диагональ $BD$, можно доказать это свойство для любой другой стороны четырехугольника. Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано.

б)Для того чтобы многоугольник существовал, необходимо и достаточно, чтобы его наибольшая сторона была меньше суммы длин остальных сторон. Это является обобщенным неравенством многоугольника, которое следует из доказанного в пункте а). Проверим это условие для каждого из предложенных случаев.
1) Стороны равны 5 см, 7 см, 8 см и 20 см.
Наибольшая сторона равна 20 см. Найдем сумму длин остальных сторон: $5 + 7 + 8 = 20$ см.
Проверяем неравенство: $20 < 20$. Это неравенство ложно, так как $20 = 20$. В этом случае четырехугольник вырождается в отрезок. Следовательно, невыпуклый четырехугольник с такими сторонами не существует.
2) Стороны равны 3 дм, 4 дм, 5 дм и 10 дм.
Наибольшая сторона равна 10 дм. Сумма длин остальных сторон: $3 + 4 + 5 = 12$ дм.
Проверяем неравенство: $10 < 12$. Неравенство истинно. Следовательно, четырехугольник с такими сторонами существует.
3) Стороны равны 6 м, 8 м, 20 м и 20 дм.
Для начала приведем все длины к одной единице измерения, например, к метрам. Зная, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, получаем $20 \text{ дм} = 2 \text{ м}$.
Таким образом, длины сторон равны 6 м, 8 м, 20 м и 2 м.
Наибольшая сторона равна 20 м. Сумма длин остальных сторон: $6 + 8 + 2 = 16$ м.
Проверяем неравенство: $20 < 16$. Это неравенство ложно. Следовательно, четырехугольник с такими сторонами не существует.
Ответ: 1) не существует; 2) существует; 3) не существует.

в)Как и в предыдущем пункте, используем обобщенное неравенство многоугольника. Если стороны многоугольника пропорциональны некоторым числам, то для проверки его существования достаточно проверить, будет ли наибольшее из этих чисел меньше суммы остальных.
1) Стороны пропорциональны числам 1, 2, 3, 4, 5.
Наибольшее число в наборе — 5. Сумма остальных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Проверяем неравенство: $5 < 10$. Неравенство истинно. Следовательно, пятиугольник, стороны которого пропорциональны этим числам, существует.
2) Стороны пропорциональны числам 3, 4, 7, 10, 24.
Наибольшее число в наборе — 24. Сумма остальных чисел: $3 + 4 + 7 + 10 = 24$.
Проверяем неравенство: $24 < 24$. Неравенство ложно, так как $24 = 24$. В этом случае пятиугольник будет вырожденным. Следовательно, невыпуклый пятиугольник с такими пропорциями сторон не существует.
Ответ: 1) существует; 2) не существует.