Номер 41, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

41. На боковых сторонах равнобедренного $\triangle ABC$ отмечены точки $M, N$ и $K$ так, что $BN = NK = KM = MC = AC$ (рисунок 23). Найдите угол $B$.

Для решения задачи воспользуемся методом углов и теоремой синусов. Пусть $\triangle ABC$ – равнобедренный треугольник с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Обозначим искомый угол $\angle B$ через $\beta$. Тогда углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}$.

В условии задачи сказано, что точки M, N, и K лежат на боковых сторонах $AB$ и $BC$. Равенство $BN=NK=KM=MC=AC$ представляет собой цепочку отрезков. Наиболее естественная конфигурация, соответствующая таким задачам и наличию рисунка (который здесь не представлен, но подразумевается), — это ломаная линия, где точки последовательно располагаются на разных сторонах. Рассмотрим конфигурацию, где точка N лежит на стороне $BC$, а точки K и M — на стороне $AB$.

Пусть длина основания $AC$ равна $x$. Тогда из условия следует, что $BN=NK=KM=MC=x$.

1. Анализ $\triangle AMC$

Рассмотрим треугольник $\triangle AMC$. Точка M лежит на стороне $AB$. По условию $MC=AC=x$. Следовательно, $\triangle AMC$ является равнобедренным. Углы при его основании $AM$ равны, то есть $\angle MAC = \angle AMC$. Однако угол $\angle MAC$ совпадает с углом $\angle BAC$ треугольника $\triangle ABC$, поэтому $\angle MAC = \alpha$.

Отсюда следует, что и другой угол при основании $\triangle AMC$ равен $\alpha$: $\angle AMC = \alpha$.

Сумма углов в $\triangle AMC$ равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ACM = 180^\circ - (\angle MAC + \angle AMC) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.Заметим, что $180^\circ - 2\alpha = \beta$. Таким образом, $\angle ACM = \beta$.

2. Анализ $\triangle BNK$

Рассмотрим треугольник $\triangle BNK$. Точка N лежит на стороне $BC$, а точка K — на стороне $AB$. По условию $BN=NK=x$. Следовательно, $\triangle BNK$ является равнобедренным. Углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $NK$, — это $\angle KBN$, который совпадает с углом $\angle ABC$, то есть $\angle KBN = \beta$. Угол, противолежащий стороне $BN$, — это $\angle BKN$.

Следовательно, $\angle BKN = \angle KBN = \beta$.

Третий угол треугольника $\angle BNK = 180^\circ - (\angle KBN + \angle BKN) = 180^\circ - (\beta + \beta) = 180^\circ - 2\beta$.

3. Выражение длин отрезков на стороне AB

Теперь выразим длины отрезков $AM$ и $BK$ через $x$ и углы треугольника, используя теорему синусов.

В $\triangle AMC$ по теореме синусов:

$\frac{AM}{\sin(\angle ACM)} = \frac{AC}{\sin(\angle AMC)}$

$\frac{AM}{\sin\beta} = \frac{x}{\sin\alpha} \implies AM = x \frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$

Так как $\beta = 180^\circ - 2\alpha$, то $\sin\beta = \sin(180^\circ - 2\alpha) = \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$AM = x \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2x\cos\alpha$.

В $\triangle BNK$ по теореме синусов:

$\frac{BK}{\sin(\angle BNK)} = \frac{NK}{\sin(\angle KBN)}$

$\frac{BK}{\sin(180^\circ - 2\beta)} = \frac{x}{\sin\beta} \implies BK = x \frac{\sin(2\beta)}{\sin\beta} = x \frac{2\sin\beta\cos\beta}{\sin\beta} = 2x\cos\beta$.

4. Составление и решение уравнения

Точки K и M лежат на одной стороне $AB$. Длина отрезка $KM$ по условию равна $x$. Длину $KM$ можно выразить как модуль разности расстояний от одной из вершин (например, A) до точек K и M: $KM = |AM - AK|$.

Сначала найдем длину боковой стороны $AB$ из $\triangle ABC$ по теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin\alpha} = \frac{AC}{\sin\beta} \implies AB = x \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = x \frac{\sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{x}{2\cos\alpha}$.

Расстояние $AK$ от вершины A до точки K равно $AK = AB - BK = \frac{x}{2\cos\alpha} - 2x\cos\beta$.

Теперь составим уравнение для $KM$:

$KM = |AM - AK| = |2x\cos\alpha - (\frac{x}{2\cos\alpha} - 2x\cos\beta)| = x$.

Разделим обе части на $x$ (так как $x\neq0$):

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2\cos\beta| = 1$.

Заменим $\cos\beta$ через $\cos\alpha$: $\cos\beta = \cos(180^\circ - 2\alpha) = -\cos(2\alpha) = -(2\cos^2\alpha - 1) = 1-2\cos^2\alpha$.

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2(1-2\cos^2\alpha)| = 1$.

$|2\cos\alpha - \frac{1}{2\cos\alpha} + 2 - 4\cos^2\alpha| = 1$.

Умножим выражение в модуле на $2\cos\alpha$, чтобы избавиться от дроби:

$|\frac{4\cos^2\alpha - 1 + 4\cos\alpha - 8\cos^3\alpha}{2\cos\alpha}| = 1$.

$|-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha - 1| = |2\cos\alpha|$.

Так как $\alpha$ - угол остроугольного или тупоугольного треугольника, $0 < \alpha < 90^\circ$, то $\cos\alpha > 0$. Значит, $|2\cos\alpha|=2\cos\alpha$.

$-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha - 1 = \pm 2\cos\alpha$.

Рассмотрим случай со знаком "+":

$-8\cos^3\alpha + 4\cos^2\alpha + 2\cos\alpha - 1 = 0$.

$8\cos^3\alpha - 4\cos^2\alpha - 2\cos\alpha + 1 = 0$.

Это кубическое уравнение относительно $\cos\alpha$. Проверим, есть ли у него простые корни. Например, $\cos\alpha = 1/2$ ($\alpha=60^\circ$):

$8(\frac{1}{2})^3 - 4(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 1 = 8(\frac{1}{8}) - 4(\frac{1}{4}) - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0$.

Равенство выполняется, значит $\cos\alpha = 1/2$ является корнем уравнения.

Если $\cos\alpha = 1/2$, то $\alpha = 60^\circ$.

Тогда $\beta = 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - 2(60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ является равносторонним. В этом случае все условия задачи выполняются (при этом точки K и M совпадут с вершинами A и B, а точка N — с вершиной C).

Ответ:

Угол $B$ равен $60^\circ$.