Номер 40, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

40. На рисунке 22 $AM \parallel BN$, $AM = MC$, $CN = NB$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Рисунок 22

Рассмотрим треугольник $AMC$. По условию задачи дано, что $AM = MC$. Это означает, что треугольник $AMC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAC = \angle MCA$. Обозначим величину этих равных углов через $\alpha$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BNC$. По условию $CN = NB$, следовательно, треугольник $BNC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle NBC = \angle NCB$. Обозначим величину этих равных углов через $\beta$.

Из условия задачи известно, что прямые $AM$ и $BN$ параллельны ($AM \parallel BN$). Прямая $MN$ является секущей по отношению к этим параллельным прямым. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. В данном случае, это углы $\angle AMN$ и $\angle BNM$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle AMN + \angle BNM = 180^\circ$.

Выразим углы $\angle AMN$ и $\angle BNM$ через $\alpha$ и $\beta$, используя свойство о сумме углов треугольника (сумма углов равна $180^\circ$).
Для $\triangle AMC$: $\angle AMN + \angle MAC + \angle MCA = 180^\circ$. Подставляя $\angle MAC = \angle MCA = \alpha$, получаем $\angle AMN + 2\alpha = 180^\circ$, откуда $\angle AMN = 180^\circ - 2\alpha$.
Для $\triangle BNC$: $\angle BNM + \angle NBC + \angle NCB = 180^\circ$. Подставляя $\angle NBC = \angle NCB = \beta$, получаем $\angle BNM + 2\beta = 180^\circ$, откуда $\angle BNM = 180^\circ - 2\beta$.

Теперь подставим полученные выражения для углов $\angle AMN$ и $\angle BNM$ в равенство для суммы внутренних односторонних углов:
$(180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - 2\beta) = 180^\circ$
$360^\circ - 2\alpha - 2\beta = 180^\circ$
$360^\circ - 180^\circ = 2\alpha + 2\beta$
$180^\circ = 2(\alpha + \beta)$
$\alpha + \beta = 90^\circ$.

Точки $M$, $C$ и $N$ лежат на одной прямой, что означает, что угол $\angle MCN$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трех углов: $\angle MCN = \angle MCA + \angle ACB + \angle BCN$.
Используя наши обозначения $\angle MCA = \alpha$ и $\angle BCN = \beta$, получаем: $180^\circ = \alpha + \angle ACB + \beta$.
Сгруппируем слагаемые: $180^\circ = \angle ACB + (\alpha + \beta)$.

Из предыдущих вычислений мы знаем, что сумма углов $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в последнее уравнение:
$180^\circ = \angle ACB + 90^\circ$
$\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ$
$\angle ACB = 90^\circ$.
Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Доказано, что $\angle ACB = 90^\circ$.