Номер 35, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

35. Из точки $M$ к окружности с центром $O$ и радиусом 5 см проведены две касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ – точки касания). На большей из дуг $AB$ отмечена точка $C$. Найдите градусные меры дуг $AB$ и $ACB$, если $AM = 5$ см.

По условию задачи имеем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 5$ см. Из точки $M$ к окружности проведены две касательные $MA$ и $MB$, где $A$ и $B$ — точки касания. Длина отрезка касательной $AM$ равна 5 см.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. Так как $MA$ — это касательная, а $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания, то они перпендикулярны. Следовательно, $\angle OAM = 90^\circ$, и треугольник $\triangle OAM$ является прямоугольным.

Катет $OA$ равен радиусу окружности, то есть $OA = 5$ см. По условию, катет $AM$ также равен 5 см. Поскольку катеты прямоугольного треугольника $\triangle OAM$ равны ($OA=AM=5$ см), он является равнобедренным.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны и составляют по $45^\circ$. Значит, $\angle AOM = 45^\circ$.

Аналогично, треугольник $\triangle OBM$ также является прямоугольным и равнобедренным ($OB=r=5$ см, а $MB=MA=5$ см по свойству касательных из одной точки). Поэтому $\angle BOM = 45^\circ$.

Центральный угол $\angle AOB$, на который опирается меньшая дуга $AB$, равен сумме углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$.

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

дуга AB

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, градусная мера меньшей дуги $AB$ равна величине угла $\angle AOB$.

Градусная мера дуги $AB = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

дуга ACB

По условию, точка $C$ отмечена на большей из дуг $AB$. Следовательно, дуга $ACB$ — это большая дуга. Градусная мера полной окружности составляет $360^\circ$. Чтобы найти градусную меру большей дуги, нужно из $360^\circ$ вычесть градусную меру меньшей дуги.

Градусная мера дуги $ACB = 360^\circ - \text{градусная мера дуги } AB = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$.

Ответ: $270^\circ$.