Номер 32, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

32. Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены две касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ – точки касания). Найдите $\angle AOB$, если:
a) $OM = 8 \text{ см}$ и радиус окружности равен $4 \text{ см}$;
б) $\angle AMB = 84^\circ$.

а) Рассмотрим треугольник $OAM$. Поскольку $MA$ является касательной к окружности, проведенной в точку $A$, радиус $OA$ перпендикулярен этой касательной. Таким образом, треугольник $OAM$ — прямоугольный, где $\angle OAM = 90^{\circ}$.

В этом треугольнике нам даны:
1. Катет $OA$, равный радиусу окружности: $OA = 4$ см.
2. Гипотенуза $OM$: $OM = 8$ см.

Катет $OA$ в два раза короче гипотенузы $OM$ ($4 = 8 / 2$). В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла в $30^{\circ}$. Следовательно, $\angle AMO = 30^{\circ}$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$, поэтому:
$\angle AOM = 90^{\circ} - \angle AMO = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Прямоугольные треугольники $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ равны по катету и гипотенузе ($OA = OB$ как радиусы, $OM$ — общая гипотенуза). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOM = \angle BOM = 60^{\circ}$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен сумме углов $\angle AOM$ и $\angle BOM$:

$\angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$

Ответ: $120^{\circ}$.

б) Рассмотрим четырехугольник $OAMB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^{\circ}$.

По свойству касательных, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Это означает, что $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$. Следовательно, углы $\angle OAM$ и $\angle OBM$ являются прямыми:

$\angle OAM = 90^{\circ}$
$\angle OBM = 90^{\circ}$

По условию задачи, угол $\angle AMB = 84^{\circ}$.

Теперь мы можем найти четвертый угол четырехугольника, $\angle AOB$, используя свойство о сумме углов:

$\angle AOB + \angle OAM + \angle AMB + \angle OBM = 360^{\circ}$

Подставим известные значения:

$\angle AOB + 90^{\circ} + 84^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle AOB + 264^{\circ} = 360^{\circ}$

$\angle AOB = 360^{\circ} - 264^{\circ}$

$\angle AOB = 96^{\circ}$

Ответ: $96^{\circ}$.