Номер 27, страница 17 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

27. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника 20 см, а радиус вписанной в него окружности 4 см. Найдите длины катетов, если больший из них равен среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы.

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а длину гипотенузы как $c$. Согласно условию задачи, мы имеем:

Длина гипотенузы: $c = 20$ см.

Радиус вписанной окружности: $r = 4$ см.

Для решения задачи воспользуемся формулой для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим известные значения $r=4$ и $c=20$ в эту формулу:

$4 = \frac{a + b - 20}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 = a + b - 20$

Из этого уравнения выразим сумму длин катетов:

$a + b = 28$

Теперь используем второе условие задачи: больший из катетов равен среднему арифметическому длин меньшего катета и гипотенузы. Пусть $a$ — это больший катет, а $b$ — меньший катет ($a > b$). Тогда это условие можно записать в виде уравнения:

$a = \frac{b + c}{2}$

Подставим известное значение $c=20$:

$a = \frac{b + 20}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2a = b + 20$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a + b = 28 \\ 2a - b = 20 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(a + b) + (2a - b) = 28 + 20$

$3a = 48$

$a = \frac{48}{3} = 16$

Мы нашли длину большего катета: $a = 16$ см.

Чтобы найти длину меньшего катета $b$, подставим значение $a$ в первое уравнение системы $a + b = 28$:

$16 + b = 28$

$b = 28 - 16 = 12$

Длина меньшего катета: $b = 12$ см.

Таким образом, длины катетов равны 12 см и 16 см. Проверим решение с помощью теоремы Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$

$20^2 = 400$

Равенство $400=400$ верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: длины катетов равны 12 см и 16 см.