Номер 23, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

23. В $\triangle ABC$ медиана $CM$ вдвое меньше стороны $AB$. Найдите угол $C$.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что отрезок $CM$ делит сторону $AB$ на два равных отрезка: $AM = MB$. Таким образом, длина каждого из этих отрезков равна половине длины стороны $AB$: $AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

По условию задачи дано, что длина медианы $CM$ вдвое меньше длины стороны $AB$, то есть $CM = \frac{1}{2}AB$.

Сопоставляя эти равенства, мы получаем, что $CM = AM = MB$.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Поскольку две его стороны равны ($AM = CM$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAC = \angle ACM$. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Поскольку две его стороны равны ($BM = CM$), он также является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle MBC = \angle BCM$. Обозначим величину этих углов через $\beta$.

Угол $C$ исходного треугольника $ABC$ является суммой углов $\angle ACM$ и $\angle BCM$. Таким образом, $\angle C = \angle ACM + \angle BCM = \alpha + \beta$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Заменим углы их выражениями через $\alpha$ и $\beta$:
$\angle A = \angle MAC = \alpha$
$\angle B = \angle MBC = \beta$
$\angle C = \alpha + \beta$

Подставим эти выражения в уравнение суммы углов:
$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$
$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$
$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$
$\alpha + \beta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как мы ранее установили, что $\angle C = \alpha + \beta$, то получаем, что $\angle C = 90^\circ$.

Примечание: Эту задачу можно решить, используя свойство описанной окружности. Если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным, и эта сторона является его гипотенузой. В нашем случае $AM = MB = CM$, что означает, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а сторона $AB$ - ее диаметром. Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой, следовательно, угол $C$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$