Номер 16, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

16. a) Докажите, что в равнобедренном треугольнике имеются две равные медианы.

б) Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные из вершин соответственно равных углов, равны.

а) Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, где боковые стороны $AB = BC$. Проведем медианы $AM$ к стороне $BC$ и $CN$ к стороне $AB$. Требуется доказать, что медианы, проведенные к боковым сторонам, равны, то есть $AM = CN$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CB$ по определению равнобедренного треугольника.

2. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

3. Так как $AM$ и $CN$ являются медианами, они делят стороны $BC$ и $AB$ пополам. То есть $M$ – середина $BC$, а $N$ – середина $AB$. Отсюда следует, что $BM = \frac{1}{2}BC$ и $BN = \frac{1}{2}AB$. Поскольку $AB = BC$, то и их половины равны: $BM = BN$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBN$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними): $AB = CB$, $BM = BN$ и $\angle B$ — общий.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, сторона $AM$ треугольника $\triangle ABM$ равна стороне $CN$ треугольника $\triangle CBN$. Следовательно, $AM = CN$, что и требовалось доказать.

Ответ: В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к равным боковым сторонам, равны.

б) Пусть даны два равных треугольника, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что их соответственные стороны и углы равны:

$AB = A_1B_1, BC = B_1C_1, AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Проведем биссектрисы $BD$ и $B_1D_1$ из вершин соответственно равных углов $\angle B$ и $\angle B_1$. Требуется доказать, что $BD = B_1D_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $A_1B_1$ из условия равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A_1$ из условия равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

3. Так как $BD$ и $B_1D_1$ — биссектрисы, они делят углы $\angle B$ и $\angle B_1$ пополам. То есть $\angle ABD = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle A_1B_1D_1 = \frac{1}{2}\angle B_1$. Поскольку по условию $\angle B = \angle B_1$, то и их половины равны: $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle ABD = \angle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов, значит, сторона $BD$ равна стороне $B_1D_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: В равных треугольниках биссектрисы, проведенные из вершин соответственно равных углов, равны.