Номер 19, страница 16 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

19. В Улытауском национальном природном парке Казахстана растут необычные леса. Решите задачу и вы узнаете по ее числовому ответу, какой высоты достигает ель Шренка (а) и сколько лет она способна жить (б).

Ель Шренка

Найдите:

а) угол при основании равнобедренного треугольника, если он составляет 62,5 % угла при его вершине;

б) гипотенузу прямоугольного треугольника с углом $60^\circ$, если сумма гипотенузы и катета, прилежащего к этому углу, равна 900 мм.

а) Обозначим угол при вершине равнобедренного треугольника как $x$, а угол при его основании как $y$. В любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма всех углов составляет $180^\circ$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $x + y + y = 180^\circ$ или $x + 2y = 180^\circ$.
Согласно условию, угол при основании составляет 62,5% от угла при вершине. Представим проценты в виде десятичной дроби: $62,5\% = 0,625$. Это дает нам второе уравнение: $y = 0,625x$.
Теперь подставим второе уравнение в первое, чтобы найти неизвестные углы:
$x + 2(0,625x) = 180^\circ$
$x + 1,25x = 180^\circ$
$2,25x = 180^\circ$
$x = \frac{180^\circ}{2,25} = 80^\circ$
Мы нашли угол при вершине. Теперь вычислим искомый угол при основании, подставив значение $x$ в одно из уравнений:
$y = 0,625 \times 80^\circ = 50^\circ$
Ответ: 50

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен $60^\circ$. Пусть $c$ — это гипотенуза, а $b$ — катет, прилежащий к углу в $60^\circ$.
По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу угла: $\cos(60^\circ) = \frac{b}{c}$.
Известно, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Следовательно, мы можем записать: $\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$.
Из этого соотношения выразим катет $b$ через гипотенузу $c$: $b = \frac{c}{2}$.
По условию задачи, сумма гипотенузы и катета, прилежащего к углу $60^\circ$, равна 900 мм: $c + b = 900$.
Подставим в это уравнение выражение для $b$:
$c + \frac{c}{2} = 900$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{2c + c}{2} = 900$
$\frac{3c}{2} = 900$
Теперь решим уравнение относительно $c$:
$3c = 900 \times 2$
$3c = 1800$
$c = \frac{1800}{3} = 600$
Таким образом, длина гипотенузы равна 600 мм.
Ответ: 600

В условии задачи говорится, что числовые ответы соответствуют характеристикам ели Шренка. Таким образом, максимальная высота, которой достигает ель Шренка, составляет 50 метров (ответ на задачу а), а её продолжительность жизни может достигать 600 лет (ответ на задачу б).