Номер 14, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

14. В равнобедренном $\triangle ABC$ с основанием $BC$ $\angle A = 50^\circ$. К его стороне $AC$ проведен серединный перпендикуляр, пересекающий сторону $AB$ в точке $D$. Найдите $\angle DCA$.

Поскольку треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, его углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Используя эти свойства, найдем углы при основании $\triangle ABC$.

$\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \angle A) / 2$

Зная, что $\angle A = 50^\circ$, получаем:

$\angle ACB = (180^\circ - 50^\circ) / 2 = 130^\circ / 2 = 65^\circ$.

По условию, к стороне $AC$ проведен серединный перпендикуляр, который пересекает сторону $AB$ в точке $D$.

Основное свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на этом перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $D$ принадлежит серединному перпендикуляру к стороне $AC$, то она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Это означает, что длины отрезков $DA$ и $DC$ равны: $DA = DC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как две его стороны равны ($DA = DC$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:

$\angle DCA = \angle DAC$.

Угол $\angle DAC$ — это тот же угол, что и угол $\angle A$ исходного треугольника, так как точка $D$ лежит на стороне $AB$. Таким образом, $\angle DAC = \angle A = 50^\circ$.

Из этого следует, что $\angle DCA = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$