Номер 15, страница 15 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

15. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание. Отрезки $CD$ и $AB$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что:

а) $\angle CAD = \angle CBD$;

б) $AO = OB$.

а) Для доказательства равенства углов $\angle CAD$ и $\angle CBD$ рассмотрим треугольники $\triangle CAD$ и $\triangle CBD$.

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются равнобедренными и имеют общее основание $AB$.

Из того, что $\triangle ABC$ – равнобедренный с основанием $AB$, следует, что его боковые стороны равны: $AC = BC$.

Из того, что $\triangle ABD$ – равнобедренный с основанием $AB$, следует, что его боковые стороны равны: $AD = BD$.

Теперь сравним стороны треугольников $\triangle CAD$ и $\triangle CBD$:

1. $AC = BC$ (доказано выше).

2. $AD = BD$ (доказано выше).

3. $CD$ – общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle CAD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие углы. Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CAD = \angle CBD$ доказано.

б) Для доказательства равенства отрезков $AO$ и $OB$ рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.

1. $AC = BC$, так как $\triangle ABC$ – равнобедренный с основанием $AB$.

2. Сторона $CO$ является общей для обоих треугольников.

3. В пункте а) мы доказали, что $\triangle CAD = \triangle CBD$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ACD = \angle BCD$. Эти углы являются также углами $\angle ACO$ и $\angle BCO$ в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$.

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, $AO = OB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AO = OB$ доказано.