Номер 37, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

37. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по его гипотенузе.

Задача состоит в построении равнобедренного прямоугольного треугольника с помощью циркуля и линейки, если задан отрезок, являющийся его гипотенузой. Решение включает в себя анализ свойств такого треугольника, пошаговый алгоритм построения и доказательство корректности.

Проведем анализ. Пусть дан отрезок $AB$, который является гипотенузой искомого равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны ($AC = BC$), а углы при гипотенузе равны по $45^\circ$. Вершина прямого угла $C$ равноудалена от вершин $A$ и $B$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Кроме того, медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть, если $M$ — середина $AB$, то $CM = AM = MB$. Это свойство означает, что вершина $C$ лежит на окружности, диаметром которой является гипотенуза $AB$. Таким образом, точка $C$ является пересечением серединного перпендикуляра к $AB$ и окружности с центром в середине $AB$ и радиусом, равным половине $AB$.

Основываясь на анализе, приводим следующий алгоритм построения:

1. На плоскости отложим заданный отрезок $AB$, который будет служить гипотенузой.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров проведем циркулем две пересекающиеся дуги окружностей с одинаковым радиусом, большим половины длины отрезка $AB$. Через точки пересечения дуг проведем прямую. Эта прямая является серединным перпендикуляром к $AB$. Отметим точку $M$ — точку пересечения перпендикуляра с отрезком $AB$.

3. Поставим ножку циркуля в точку $M$ и установим его радиус равным длине отрезка $AM$ (или $MB$).

4. Проведем этой окружностью (или ее дугой) до пересечения с серединным перпендикуляром. Точка пересечения и будет искомой вершиной $C$ прямого угла. (Таких точек пересечения две, по одной с каждой стороны от гипотенузы. Для построения треугольника достаточно выбрать одну из них).

5. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Докажем, что построенный треугольник удовлетворяет условиям задачи.По построению, точка $C$ находится на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, следовательно, она равноудалена от его концов, то есть $AC = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным.Также по построению $M$ — середина гипотенузы $AB$, и $CM = AM = MB$. Это значит, что точка $M$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$, а гипотенуза $AB$ — её диаметром. Вписанный угол $∠ACB$ опирается на диаметр, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным и прямоугольным, а $AB$ — его гипотенузой.

Ответ: Искомый треугольник строится путем нахождения его третьей вершины (вершины прямого угла) на пересечении серединного перпендикуляра к данной гипотенузе и окружности, построенной на этой гипотенузе как на диаметре.