Номер 38, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

38. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD$ его высота. Докажите, что треугольники $ACD$ и $CDB$ имеют соответственно равные углы.

По условию задачи, в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $∠C = 90°$, а $CD$ — его высота, проведенная к гипотенузе $AB$. Из определения высоты следует, что $CD \perp AB$, а значит, углы при основании высоты являются прямыми: $∠CDA = 90°$ и $∠CDB = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма его углов равна $180°$. Так как $∠C = 90°$, то сумма двух других острых углов равна $90°$: $∠A + ∠B = 90°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Он является прямоугольным, так как $∠CDA = 90°$. Сумма его острых углов также равна $90°$: $∠A + ∠ACD = 90°$.

Сравнивая два полученных равенства, $∠A + ∠B = 90°$ и $∠A + ∠ACD = 90°$, мы видим, что $∠B = ∠ACD$.

Аналогично рассмотрим треугольник $CDB$. Он также является прямоугольным, так как $∠CDB = 90°$. Сумма его острых углов равна $90°$: $∠B + ∠BCD = 90°$.

Сравнивая равенства $∠A + ∠B = 90°$ и $∠B + ∠BCD = 90°$, мы видим, что $∠A = ∠BCD$.

Таким образом, мы установили соответствие между углами треугольников $ACD$ и $CDB$:

1. $∠CDA = ∠CDB = 90°$ (как углы, образованные высотой).

2. $∠A$ (в $\triangle ACD$) = $∠BCD$ (в $\triangle CDB$).

3. $∠ACD$ (в $\triangle ACD$) = $∠B$ (в $\triangle CDB$).

Все три угла треугольника $ACD$ соответственно равны трем углам треугольника $CDB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольники $ACD$ и $CDB$ имеют соответственно равные углы: $∠A = ∠BCD$, $∠ACD = ∠B$ и $∠CDA = ∠CDB = 90°$.