Номер 36, страница 18 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

36. В треугольник с углами $40^\circ$ и $50^\circ$ вписана окружность. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания.

Сначала найдем третий угол треугольника. Пусть углы треугольника равны $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. По условию, $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 50^\circ$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть вписанная окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $F$, $D$ и $E$ соответственно. Окружность разделена этими точками на три дуги: $\overset{\frown}{DE}$, $\overset{\frown}{EF}$ и $\overset{\frown}{FD}$. Градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, нам нужно найти величины углов $\angle DOE$, $\angle EOF$ и $\angle FOD$.

Рассмотрим четырехугольник $AFOE$, образованный вершиной $A$ и точками касания $F$, $E$ на прилежащих сторонах, а также центром вписанной окружности $O$. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника, поэтому $\angle AFO = 90^\circ$ и $\angle AEO = 90^\circ$. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Отсюда получаем:
$\angle EOF = 360^\circ - \angle A - \angle AFO - \angle AEO = 360^\circ - 40^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 140^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{EF}$ равна $140^\circ$.

Аналогично для четырехугольника $BFOD$:
$\angle FOD = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{FD}$ равна $130^\circ$.

И для четырехугольника $CDOE$:
$\angle DOE = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Следовательно, градусная мера дуги $\overset{\frown}{DE}$ равна $90^\circ$.

Проверим, что сумма градусных мер всех дуг составляет полную окружность: $140^\circ + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Ответ: градусные меры дуг равны $90^\circ$, $130^\circ$ и $140^\circ$.