Номер 44, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

44. Узнайте, сколько видов животных (а), птиц (б) обитает в Баянаульском национальном природном парке Казахстана, найдя числовые ответы в задаче. Найдите:

а) наименьший угол четырехугольника, если один из его углов равен $160^\circ$, а остальные относятся как $2 : 3 : 5$;

б) меньший из противоположных углов четырехугольника, если он составляет $\frac{5}{13}$ другого из них, а сумма остальных его углов равна $180^\circ$.

Баянаульский парк

а) Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. По условию, один из углов равен $160^\circ$. Остальные три угла относятся как $2:3:5$. Обозначим их как $2x$, $3x$ и $5x$.
Составим уравнение, исходя из суммы всех углов:
$160 + 2x + 3x + 5x = 360$
$160 + 10x = 360$
$10x = 360 - 160$
$10x = 200$
$x = 20$
Теперь найдем величины трех неизвестных углов:
Первый угол: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$
Второй угол: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
Третий угол: $5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$
Все углы четырехугольника равны $160^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 100^\circ$. Наименьший из них — $40^\circ$.
Ответ: 40.

б) Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$. Пусть искомые противоположные углы — $\alpha$ и $\beta$, а два других — $\gamma$ и $\delta$. По условию, сумма двух других углов равна $180^\circ$, то есть $\gamma + \delta = 180^\circ$.
Сумма всех углов четырехугольника: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.
Подставим известную сумму $\gamma + \delta$:
$\alpha + \beta + 180^\circ = 360^\circ$
$\alpha + \beta = 360^\circ - 180^\circ$
$\alpha + \beta = 180^\circ$
По условию, один из этих углов составляет $\frac{5}{13}$ другого. Пусть $\alpha = \frac{5}{13}\beta$.
Подставим это соотношение в уравнение их суммы:
$\frac{5}{13}\beta + \beta = 180^\circ$
$\frac{5\beta + 13\beta}{13} = 180^\circ$
$\frac{18}{13}\beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ \cdot \frac{13}{18}$
$\beta = 10^\circ \cdot 13 = 130^\circ$
Теперь найдем второй угол $\alpha$:
$\alpha = 180^\circ - \beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$
Противоположные углы равны $50^\circ$ и $130^\circ$. Меньший из них равен $50^\circ$.
Ответ: 50.