Номер 49, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

49.

a) В прямоугольнике $ABCE$ проведена диагональ $AC$. Известно, что $\angle CAB = 2 \cdot \angle ACB$. Найдите периметр прямоугольника, если $AC = 10$ см, $BC = a$ см.

б) Постройте квадрат $PEFL$ со стороной 3 см и его диагональ $PF$. Найдите углы $EPF$, $EFP$ и $FPL$.

в) Периметр ромба $MNPK$ равен 12 дм. Найдите его углы $M$ и $N$, если диагональ $NK$ равна стороне $MK$.

г) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ $\angle A = 55^\circ$, $\angle C = 140^\circ$. Найдите два других угла этой трапеции.

д) Дан параллелограмм $EFGH$. Биссектрисы его углов $E$ и $F$ пересекаются в точке $K$. Найдите $\angle EKF$.

а) В прямоугольнике $ABCE$ диагональ $AC$ образует с его сторонами прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно, $\angle CAB + \angle ACB = 90^\circ$.
По условию задачи $\angle CAB = 2 \cdot \angle ACB$. Обозначим $\angle ACB = x$, тогда $\angle CAB = 2x$.
Составим уравнение: $x + 2x = 90^\circ$, откуда $3x = 90^\circ$, и $x = 30^\circ$.
Таким образом, $\angle ACB = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AB$ лежит против угла $\angle ACB = 30^\circ$, а гипотенузой является $AC = 10$ см.Следовательно, $AB = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Вторую сторону прямоугольника, $BC$, найдем по теореме Пифагора: $BC^2 = AC^2 - AB^2$.
$BC = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.
Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(AB + BC)$.
$P = 2(5 + 5\sqrt{3}) = 10 + 10\sqrt{3}$ см.
Ответ: $10 + 10\sqrt{3}$ см.

б) В квадрате $PEFL$ все углы прямые ($\angle E = \angle P = \angle F = \angle L = 90^\circ$) и все стороны равны. Диагональ $PF$ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника $PEF$ и $PFL$.
Рассмотрим треугольник $PEF$. Он прямоугольный, так как $\angle E = 90^\circ$. Поскольку $PE = EF$ (как стороны квадрата), треугольник $PEF$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $\angle EPF = \angle EFP$. Сумма этих углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle EPF = \angle EFP = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Диагональ в квадрате является биссектрисой его углов. Угол $\angle EPL$ — это угол квадрата, $\angle EPL = 90^\circ$. Диагональ $PF$ делит его пополам, поэтому $\angle FPL = \frac{1}{2}\angle EPL = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: $\angle EPF = 45^\circ$, $\angle EFP = 45^\circ$, $\angle FPL = 45^\circ$.

в) Периметр ромба $MNPK$ равен $12$ дм. Так как у ромба все четыре стороны равны, длина одной стороны $MK$ составляет $MK = \frac{P}{4} = \frac{12}{4} = 3$ дм.
По условию, диагональ $NK$ равна стороне $MK$, то есть $NK = 3$ дм.
Рассмотрим треугольник $MNK$. Его стороны $MN$, $NK$ и $KM$ равны между собой ($MN=NK=KM=3$ дм), так как $MN$ и $MK$ — стороны ромба, а $NK$ равна им по условию. Следовательно, треугольник $MNK$ является равносторонним.
Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, $\angle M = 60^\circ$.
В ромбе сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Углы $M$ и $N$ — соседние, поэтому $\angle M + \angle N = 180^\circ$.
$\angle N = 180^\circ - \angle M = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: $\angle M = 60^\circ$, $\angle N = 120^\circ$.

г) В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Сумма углов, прилежащих к каждой боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
Для боковой стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Поскольку $\angle A = 55^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.
Для боковой стороны $CD$ имеем: $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
Поскольку $\angle C = 140^\circ$, то $\angle D = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Ответ: $\angle B = 125^\circ$, $\angle D = 40^\circ$.

д) В параллелограмме $EFGH$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle E + \angle F = 180^\circ$.
По условию, $EK$ – биссектриса угла $\angle E$, а $FK$ – биссектриса угла $\angle F$. Это означает, что $\angle KEF = \frac{1}{2}\angle E$ и $\angle KFE = \frac{1}{2}\angle F$.
Рассмотрим треугольник $EKF$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle KEF + \angle KFE + \angle EKF = 180^\circ$.
Подставим в это равенство выражения для углов $\angle KEF$ и $\angle KFE$:
$\frac{1}{2}\angle E + \frac{1}{2}\angle F + \angle EKF = 180^\circ$
$\frac{1}{2}(\angle E + \angle F) + \angle EKF = 180^\circ$
Так как $\angle E + \angle F = 180^\circ$, то:
$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle EKF = 180^\circ$
$90^\circ + \angle EKF = 180^\circ$
$\angle EKF = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: $\angle EKF = 90^\circ$.